Question

f（x）=mx-alnx-m，g（x）=

ex

ex

，其中m，a均為實(shí)數(shù)．
（1）求g（x）的極值．
（2）設(shè)a=-1，若函數(shù)h（x）=f（x）+xe^x+1•g（x）-m²lnx是增函數(shù)，求m的取值范圍．
（3）設(shè)a=2，若對(duì)任意給定的x₀∈（0，e]，在區(qū)間（0，e]上總存在t₁，t₂（t₁≠t₂），使得f（t₁）=f（t₂）=g（x_m），求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）對(duì)于第一問非常簡(jiǎn)單，只需按求解極值的定義求解即可．
（2）由題意可得h′(x)=2x+m+

1-m2

x

=

2x2+mx+1-m2

x

≥0，對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，討論二次函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性即可得出結(jié)論；
（3）通過(guò)第三問的條件，你會(huì)得到f（x）在區(qū)間（0，e]不是單調(diào)函數(shù)的結(jié)論，并要求f（x）的值域需包含g（x）的值域便可．接下來(lái)就是看怎樣讓f（x）的值域包含g（x）的值域，即能求出m的范圍．

解答： 解：（1）g′(x)=

e(1-x)

ex

，令g（x）=0，得x=1當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，
g'（x）＞0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g'（x）＜0，∵g（1）=1
∴y=g（x）的極大值為1，無(wú)極小值．
（2）因?yàn)閍=-1，由題意，h（x）=x²+m（x-1）+（1-m²）lnx是增函數(shù)，
h′(x)=2x+m+

1-m2

x

=

2x2+mx+1-m2

x

≥0，對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，
當(dāng)-

m

4

≤0時(shí)，只需1-m²≥0，即0≤m≤1，當(dāng)-

m

4

＞0時(shí)，只需1-m2-

m2

8

≥0，即-

2 2

3

≤m＜0綜上得，-

2 2

3

≤m≤1．
（3）由（1）知，當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，g（x）∈（0，1]，
由題意，當(dāng)f（x）�。�0，1]的每一個(gè)值時(shí)，在區(qū)間（0，e]上存在t₁，t₂（t₁≠t₂）與該值對(duì)應(yīng)．
a=2時(shí)，f(x)=m(x-1)-2lnx，f′(x)=m-

2

x

=

mx-2

x

，
當(dāng)m=0時(shí)，f′(x)=-

2

x

＜0，f（x）單調(diào)遞減，不合題意，當(dāng)m≠0時(shí)，x=

2

m

時(shí)，f'（x）=0，由題意，
f（x）在區(qū)間（0，e]上不單調(diào)，所以，0＜

2

m

＜e，
當(dāng)x∈(0，

2

m

]時(shí)，f'（x）＜0，當(dāng)(

2

m

，+∞)時(shí)，f'（x）＞0所以，
當(dāng)x∈（0，e]時(shí)，fmin(x)=f(

2

m

)=2-m-2ln

2

m

，
由題意，只需滿足以下三個(gè)條件：①fmin(x)=f(

2

m

)=2-m-2ln

2

m

＜0②f（e）=m（e-1）-2≥1③?x0∈(0，

2

m

)使f（x₀）＞1
∵f(

2

m

)≤f(1)=0，所以①成立．由②f（x）=m（x-1）-2lnx→+∞，所以③滿足，
所以當(dāng)m滿足

0＜ 2 m ＜e m≥ 3 e-1

即m≥

3

e-1

時(shí)，符合題意，故，m的取值范圍為[

3

e-1

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識(shí)，考查學(xué)生的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能力及運(yùn)算求解能力，屬于難題．