已知函數(shù)

.
(Ⅰ)當

時,求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間和極值;
(Ⅱ)若

在區(qū)間

上是單調(diào)遞減函數(shù),求實數(shù)

的取值范圍.
(Ⅰ)單調(diào)遞減區(qū)間是

;單調(diào)遞增區(qū)間是

.極小值是
(Ⅱ)

的最小值為


的取值范圍是

.
試題分析:(Ⅰ)函數(shù)

的定義域為(0,+∞).
當

時,

2分
當

變化時,

的變化情況如下:

的單調(diào)遞減區(qū)間是

;單調(diào)遞增區(qū)間是

.
極小值是

6分
(Ⅱ)由

,得

8分
又函數(shù)

為

上的單調(diào)減函數(shù).
則

在

上恒成立, 所以不等式

在

上恒成立,
即

在

上恒成立. 10分
設

,顯然

在

上為減函數(shù),
所以

的最小值為


的取值范圍是

. 12分
點評:典型題,本題屬于導數(shù)應用中的基本問題,通過研究函數(shù)的單調(diào)性,明確了極值情況。通過研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值情況,得到證明不等式。恒成立問題,往往要轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值求法。本題涉及對數(shù)函數(shù),要特別注意函數(shù)的定義域。
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

為奇函數(shù),且在

處取得極大值2.
(Ⅰ)求

的解析式;
(Ⅱ)過點

(

可作函數(shù)

圖像的三條切線,求實數(shù)

的取值范圍;
(Ⅲ)若

對于任意的

恒成立,求實數(shù)

的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
設函數(shù)

.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當x∈[-2,2]時,不等式f(x)>m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
函數(shù)

的遞減區(qū)間是
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
函數(shù)

的單調(diào)遞減區(qū)間為______________
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知函數(shù)

(

)滿足

,且

的導函數(shù)

<

,則

<

的解集為( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

(1)求函數(shù)

的單調(diào)區(qū)間;
(2)設

,對任意的

,總存在

,使得不等式

成立,求實數(shù)

的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
函數(shù)

的最大值是
。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知函數(shù)

為常數(shù),

(1)當

時,求函數(shù)

在

處的切線方程;
(2)當

在

處取得極值時,若關于

的方程

在

上恰有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)

的取值范圍;
(3)若對任意的

,總存在

,使不等式

成立,求實數(shù)

的取值范圍。
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