Question

求下列函數(shù)的最值與值域：

(1)；(2)；

(3)；(4)；

(5)；

(6)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)分析：由于被開(kāi)方式t＝3＋2x－x2是二次三項(xiàng)式，可用配方法． 　　 　　 　　 　　 　　 　�、倮�用函數(shù)的單調(diào)性亦是求函數(shù)最值的常用方法之一． 　　②請(qǐng)考慮： 　　1°本小題亦是兩數(shù)之積為定值的最值問(wèn)題，為什么不直接應(yīng)用基本不等式?(答：等號(hào)在R中不成立．) 　　 　　 　　 　　另外，x∈[0，1]時(shí)還可以用均值定理． 　　(6)分析：采用兩邊平方的想法去化簡(jiǎn)是不恰當(dāng)?shù)模�注意到函�?shù)式的結(jié)構(gòu)，聯(lián)想到解析幾何中兩點(diǎn)間距離公式(或復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式)．

提示：

解題心得：1．(1)題屬于“二次函數(shù)”求最值，直接用配方法；(2)雖不是“二次函數(shù)”，但經(jīng)換元，可化為二次函數(shù)，仍可用配方法解決． 　　(3)題①本小題屬于可化為關(guān)于某變數(shù)的二次方程的分子函數(shù)，即形如，或某些無(wú)理函數(shù)(如，由判別式法可求得)，可用判別式法． 　　②涉及到“積”、“和”為定值的，可用基本不等式，在解法2中，為避免討論，取了絕對(duì)值． 　�、圻@兩種方法均需驗(yàn)證等號(hào)是否成立． 　　2．(1)函數(shù)的值域 　　求函數(shù)的值域是一個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題，也是很重要的問(wèn)題(因?yàn)樗�和求函�?shù)的最值緊密相連)，不管用什么方法求函數(shù)的值域，都要考慮其定義域． 　�、佼�(dāng)函數(shù)y＝f(x)用表格給出時(shí)，函數(shù)的值域是指表格是實(shí)數(shù)y的集合； 　�、诋�(dāng)函數(shù)t＝f(x)用圖象給出時(shí)，函數(shù)的值域是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)y的集合； 　�、郛�(dāng)函數(shù)y＝f(x)用解析式給出時(shí)，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定； 　�、墚�(dāng)函數(shù)由實(shí)際問(wèn)題給出時(shí)，函數(shù)的值域由問(wèn)題的實(shí)際意義決定． (2)函數(shù)的最值 　　定義：設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足： 　�、賹�(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M； 　�、诖嬖趚0∈I，使得f(x0)＝M． 　　那么，稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值．類似地，可定義函數(shù)的最小值． 求函數(shù)最值和求值域是分不開(kāi)的，方法相類似．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最(小)大數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最(小)大值，所以求值域與求最值，只是提問(wèn)的角度不同，而答題的方式也就有所不同．例如：函數(shù)的值域是(0，16)，最大值是16，無(wú)最小值．再如的值域是{y|y∈R，y≥2或y≤－2}，但此函數(shù)無(wú)最大值與最小值．但是一旦改變定義域則函數(shù)值域就改變了．例如：，當(dāng)x＞0時(shí)，最小值為2． 　　 　　(3)判別式法：把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程F(x，y)＝0，通過(guò)方程有實(shí)根，判別式△≥0，從而求得原函數(shù)的值域，形如：求函數(shù)(a，d不同時(shí)為零)的值域．應(yīng)注意，判別式法僅限于實(shí)系數(shù)的一元二次方程mx2＋nx＋p＝0(m，n，p∈R，且m≠0)． 　　(4)換元法：運(yùn)用代數(shù)或三角代換，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域，形如：求函數(shù)(a，b，c，d均為常數(shù))的值域．三角代換是指具備a2＋b2＝1形式的題目． 　　 　　 　　(7)數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法來(lái)求函數(shù)的值域． 　　 　　(9)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的步驟是：①求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)為0；②確定極值點(diǎn)，求極值；③比較端點(diǎn)函數(shù)值與極值，確定最大、最小值或值域．