Question

12．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=btanA，且B為鈍角．
（1）若$A=\frac{π}{6}$，求B；
（2）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，由a=btanA，可得sinA=sinB$•\frac{sinA}{cosA}$，根據(jù)$A=\frac{π}{6}$，可求B；
（2）根據(jù)B為鈍角，cosA=sinB，可得B-A=$\frac{π}{2}$，利用三角形內(nèi)角和消去C，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解范圍．

解答 解：（1）∵$A=\frac{π}{6}$，B為鈍角，
由$a=btanA⇒\frac{sinA}{cosA}=\frac{a}=\frac{sinA}{sinB}⇒cosA=sinB⇒sinB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}⇒B=\frac{2π}{3}$．
（2）由$cosA=sinB⇒B-A=\frac{π}{2}⇒A∈（{0，\frac{π}{4}}）$．
又A+B+C=π
∴$sinA+sinC=sinA+sin（π-A-B）=sinA+sin（{\frac{π}{2}-2A}）=sinA+cos2A$=$-2{sin^2}A+sinA+1=-2{（{sinA-\frac{1}{4}}）^2}+\frac{9}{8}∈（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{9}{8}}]$．
∴sinA+sinC的取值范圍是（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{9}{8}$]

點評 本題主要考查正弦定理和三角函數(shù)的性質(zhì)，利用三角函數(shù)的有界限求解范圍．屬于中檔題．