Question

已知(5

3	x2

-x2)n展開式中各項系數和比各項的二項式系數和大992
（1）求展開式中二項式系數最大的項；
（2）求展開式中系數最大的項．

Answer 1

考點：二項式定理的應用

專題：計算題,二項式定理

分析：（1）令x=1得各項系數和為：4ⁿ，二項式系數和為2ⁿ，由條件得到方程，解出即可得到n=5，再由二項式系數的性質，即可得到二項式系數最大的項；
（2）由二項式展開式的通項公式，可得r=0，2，4時項的系數為正，分別求得它們的系數，比較即可得到系數最大項．

解答： 解：（1）令x=1得各項系數和為：4ⁿ，二項式系數和為2ⁿ，
由各項系數和比各項的二項式系數和大992，得4ⁿ-2ⁿ=992，
即有（2ⁿ+31）（2ⁿ-32）=0，則2ⁿ=32，解得n=5，
二項式的展開式的通項T_r+1=

C

r 5

（5

3	x2

）^5-r•（-x²）^r（r=0，1，2，…，5）
則展開式中二項式系數最大的項為：
T₃=

C

2 5

（5

3	x2

）^5-2•（-x²）²=1250x⁶，
T₄=

C

3 5

（5

3	x2

）^5-3•（-x²）³=-250x

22

3

；
（2）由T_r+1=

C

r 5

（5

3	x2

）^5-r•（-x²）^r（r=0，1，2，…，5），
則r=0，2，4時項的系數為正，
當r=0時，項的系數為5⁵=3125，
當r=2時，項的系數為2×5⁴=1250，
當r=4時，項的系數為5²=25，
故r=0時，展開式中項的系數最大，
即有展開式中系數最大的項為3125x

10

3

．

點評：本題考查二項式展開式的通項及運用，考查二項式系數與該項的系數的區(qū)別，考查運算能力，屬于中檔題．