Question

已知函數(shù)其中n∈N^*，a為常數(shù)．

(Ⅰ)當(dāng)n＝2時，求函數(shù)f(x)的極值；

(Ⅱ)當(dāng)a＝1時，證明：對任意的正整數(shù)n，當(dāng)x≥2時，有f(x)≤x－1．

Answer 1

答案：
解析：

標(biāo)準(zhǔn)答案： 　　(Ⅰ)解：由已知得函數(shù)的定義域為， 　　當(dāng)時，，所以． 　　(1)當(dāng)時，由得，， 　　此時． 　　當(dāng)時，，單調(diào)遞減； 　　當(dāng)時，，單調(diào)遞增． 　　(2)當(dāng)時，恒成立，所以無極值． 　　綜上所述，時， 　　當(dāng)時，在處取得極小值，極小值為． 　　當(dāng)時，無極值． 　　(Ⅱ)證法一：因為，所以． 　　當(dāng)為偶數(shù)時， 　　令， 　　則()． 　　所以當(dāng)時，單調(diào)遞增， 　　又， 　　因此恒成立， 　　所以成立． 　　當(dāng)為奇數(shù)時， 　　要證，由于，所以只需證， 　　令， 　　則()， 　　所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，又， 　　所以當(dāng)時，恒有，即命題成立． 　　綜上所述，結(jié)論成立． 　　證法二：當(dāng)時，． 　　當(dāng)時，對任意的正整數(shù)，恒有， 　　故只需證明． 　　令，， 　　則， 　　當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增， 　　因此當(dāng)時，，即成立． 　　故當(dāng)時，有． 　　即． 　　試題分析：第一問對討論時要注意一些顯而易見的結(jié)果，當(dāng)時恒成立，無極值．第二問需要對構(gòu)造的新函數(shù)進(jìn)行“常規(guī)處理”，即先證單調(diào)性，然后求最值，最后作出判斷． 　　高考考點：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、構(gòu)造函數(shù)證明不等式

提示：

函數(shù)類問題的解題方法要內(nèi)悟、歸納、整理，使之成為一個系統(tǒng)，在具體運用時自如流暢，既要具有一定的思維定向，也要謹(jǐn)防盲目套用．此類問題對轉(zhuǎn)化能力要求很高，不能有效轉(zhuǎn)化是解題難以突破的主要原因，要善于構(gòu)造函數(shù)證明不等式，從而體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的工具性．