Question

函數(shù)f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)
（1）若x=1為f（x）的極值點，求a的值．
（2）若y=f（x）的圖象在（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，求f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用x=1是f（x）的極值點，即f′（1）=0，可求a的值；
（2）利用（1，f（1））在x+y-3=0 上，可得f（1）=2，根據(jù)（1，2）在y=f（x）的圖象上，結(jié)合f′（1）=-1，可確定函數(shù)的解析式，確定極值點與端點的函數(shù)值，即可求得f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值．

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=x²-2ax+a²-1
∵x=1是f（x）的極值點，∴f′（1）=0，∴a²-2a=0，∴a=0或2
（2）∵（1，f（1））在x+y-3=0 上，∴f（1）=2
∵（1，2）在y=f（x）的圖象上，∴2=

1

3

-a+a²-1+b
又∵f′（1）=-1，∴1-2a+a²-1=-1，∴a²-2a+1=0
∴a=1，b=

8

3

∴f(x)=

1

3

x3-x2+

8

3

∴f′（x）=x²-2x
∴由f′（x）=0，可知x=0和x=2 是f（x） 的極值點
∵f(0)=

8

3

，f(2)=

4

3

，f（-2）=-4，f（4）=8
∴f（x）在區(qū)間[-2，4]上的最大值為8

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值與最值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的解析式．