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13.設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an=nbn=1anan+1,Tn為{bn}的前n項和,若存在自然數(shù)m,n (m>n)使T1、Tn、Tm成等比數(shù)列,則m=8.

分析 通過裂項相消法計算可知Tn=nn+1,進(jìn)而可知Tn2=T1Tm,化簡可知2m=n2+2n+1n2,利用其為正數(shù)可得關(guān)于想的表達(dá)式n2-2n-1<0,計算可知n=1或n=2,分情況討論即可.

解答 解:∵an=n,
∴bn=1anan+1=1n-1n+1
并項相加可知,Tn=1-1n+1=nn+1
∵存在自然數(shù)m,n (m>n)使T1、Tn、Tm成等比數(shù)列,
Tn2=T1Tm,
12mm+1=n2n+12=n2n2+2n+1,
兩邊同時取倒數(shù),可知2m+2m=n2+2n+1n2
2m=n2+2n+1n2>0,
∴n2-2n-1<0,即(n-1)2<2,
∴n=1或n=2,
當(dāng)n=1時,2m=1+2+11=2,故m=1,矛盾;
當(dāng)n=2時,2m=4+4+14=14,故m=8;
綜上所述,當(dāng)且僅當(dāng)n=2、m=8時,T1、Tn、Tm成等比數(shù)列,
故答案為:8.

點評 本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及其性質(zhì),考查裂項相消法,考查學(xué)生的函數(shù)思想方法,及其推理論證和探究的能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列bn=an•log2an,求{bn}的前n項和Tn

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(Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn

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