Question

（本小題滿分14分）設數列的前項和為，對一切，點都在函數 的圖象上．

（Ⅰ）求的值，猜想的表達式，并用數學歸納法證明；

（Ⅱ）將數列依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），（，，），（，，，）；（），…，分別計算各個括號內各數之和，設由這些和按原來括號的前后順序構成的數列為，求的值；

Answer 1

思路點撥：（本題將函數與數列知識交匯在一起，考查了觀察、歸納、猜想、用數學歸納法證明的方法，考查了等差數列、等差數列的求和公式，考查了同學們觀察問題、解決問題的能力。（1）將點代入函數中，通過整理得到與的關系，則可求；（2）通過觀察發(fā)現(xiàn)是第25組中第4個括號內各數之和，各組第4個括號中各數之和構成首項為68、公差為80構成等差數列，利用等差數列求和公式可求．_。

解：（Ⅰ）因為點在函數的圖象上，

故，所以．------------------------1分

令，得，所以；

令，得，所以；

令，得，所以．

由此猜想：．…………………………………………4分

用數學歸納法證明如下：

① 當時，有上面的求解知，猜想成立．-------------5分

② 假設時猜想成立，即成立，

則當時，注意到，

故，．

兩式相減，得，所以．

由歸納假設得，，

故．

這說明時，猜想也成立．

由①②知，對一切，成立 ．……………………………………8分

（Ⅱ）因為（），所以數列依次按1項、2項、3項、4項循環(huán)地分為（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每一次循環(huán)記為一組．由于每一個循環(huán)含有4個括號，  故 是第25組中第4個括號內各數之和．由分組規(guī)律知，由各組第4個括號中所有第1個數組成的數列是等差數列，且公差為20．同理，由各組第4個括號中所有第2個數、所有第3個數、所有第4個數分別組成的數列也都是等差數列，且公差均為20．故各組第4個括號中各數之和構成等差數列，且公差為80．注意到第一組中第4個括號內各數之和是68，

所以 ．又=22，所以=2010．………………14分

歸納總結：由已知求出數列的前幾項，做出猜想，然后利用數學歸納法證明，是不完全歸納法與數學歸納法相結合的一種重要的解決數列通項公式問題的方法。證明的關鍵是根據已知條件和假設尋找與或與間的關系，使命題得證。