Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
1.已知f(x)=2x+1,x∈R且f(x)可表示為一個(gè)偶函數(shù)g(x)與一個(gè)奇函數(shù)h(x)的和,設(shè)h(x)=t,p(t)=g(2x)+2mh(x)+m2-m+1,m∈R.
(1)求P(t)的解析式;
(2)若p(t)≥m2-m+1對(duì)于x∈[1,2]恒成立,求m的取值范圍;
(3)當(dāng)P(P(t))=0無(wú)實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)利用f(x)=g(x)+h(x)和f(-x)=g(-x)+h(-x)求出g(x)和h(x)的表達(dá)式,再求出p(t)關(guān)于t的表達(dá)式即可.
(2)先有x∈[1,2]找出t的范圍,在把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求p(t)在[32,154]的最小值.讓大于等于m2-m-1即可.
(3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于p(t)的一元二次方程,利用判別式的取值,再分別討論即可.

解答 解:(1)假設(shè)f(x)=g(x)+h(x)①,其中g(shù)(x)偶函數(shù),h(x)為奇函數(shù),
則有f(-x)=g(-x)+h(-x),即f(-x)=g(x)-h(x)②,
由①②解得g(x)=fx+fx2,h(x)=fxfx2,
∵f(x)定義在R上,∴g(x),h(x)都定義在R上.
∵g(-x)=fx+fx2=g(x),h(-x)=fxfx2=-h(x).
∴g(x)是偶函數(shù),h(x)是奇函數(shù),∵f(x)=2x+1,
∴g(x)=fx+fx2=2x+1+2x+12=2x+12x,
h(x)=fxfx2=2x+12x+1x=2x-12x,
由2x-12x=t,則t∈R,
平方得t2=(2x-12x2=22x+122x-2,∴g(2x)=22x+122x=t2+2,
∴p(t)=t2+2mt+m2-m+1.
(2)∵t=h(x)關(guān)于x∈[1,2]單調(diào)遞增,
32≤t≤154,
∴p(t)=t2+2mt+m2-m+1≥m2-m-1對(duì)于t∈[32154]恒成立,
∴m≥-t2+22t對(duì)于t∈[32,154]恒成立,
令φ(t)=-t2+22t,則φ′(t)=122t2-1),
∵t∈[32,154],∴φ′(t)=122t2-1)<0,
故φ(t)在t∈[32,154]上單調(diào)遞減,
∴φ(t)max=φ(32)=-1712,
∴m≥-1712
(3)由(1)得p(p(t))=[p(t)]2+2mp(t)+m2-m+1,
若p(p(t))=0無(wú)實(shí)根,即[p(t)]2+2mp(t)+m2-m+1①無(wú)實(shí)根,
方程①的判別式△=4m2-4(m2-m+1)=4(m-1).
1°當(dāng)方程①的判別式△<0,即m<1時(shí),方程①無(wú)實(shí)根.
2°當(dāng)方程①的判別式△≥0,即m≥1時(shí),
方程①有兩個(gè)實(shí)根p(t)=t2+2mt+m2-m+1=-m±m1,
即t2+2mt+m2+1±m1=0②,
只要方程②無(wú)實(shí)根,故其判別式△2=4m2-4(m2+1±m1)<0,
即得-1-m1<0③,且-1+m1<0④,
∵m≥1,③恒成立,由④解得m<2,∴③④同時(shí)成立得1≤m<2.
綜上,m的取值范圍為m<2.

點(diǎn)評(píng) 本題是在考查指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上對(duì)函數(shù)的恒成立問(wèn)題,函數(shù)奇偶性以及一元二次方程根的判斷的綜合考查,是一道綜合性很強(qiáng)的難題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

11.如圖,圓C與x軸相切于點(diǎn)T(1,0),與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A,B(在A的上方),且|AB|=2.過(guò)點(diǎn)A任作一條直線與圓O:x2+y2=1相交于M,N兩點(diǎn),下列三個(gè)結(jié)論:
|NA||NB|=|MA||MB|;  ②|NB||NA|-|MA||MB|=3;  ③|NB||NA|-|MA||MB|=22
其中正確結(jié)論的序號(hào)是①③.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

12.若f(x)=-12x2+bln(x+2)在(-2,+∞)上是減函數(shù),則b的取值范圍是( �。�
A.(-∞,-1]B.(-∞,-1)C.(-∞,0]D.(-∞,0)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

9.一個(gè)袋中裝有黑球、白球和紅球共n(n∈N*)個(gè),這些球除顏色外完全相同.已知從袋中任意摸出1個(gè)球,得到黑球的概率是25,現(xiàn)從袋中任意摸出2個(gè)球.若n=15,且摸出的2個(gè)球都是白球的概率是221,設(shè)ξ表示摸出的2個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù),則隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=815

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

16.直線x-y+m=0與圓x2+y2-2x+1=0有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是( �。�
A.0<m<1B.-4<m<2C.m<1D.-3<m<1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

6.已知函數(shù)y=x+23x4
(1)求x的取值范圍;
(2)求y的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:填空題

13.若不等式2x+1x-a>0對(duì)任意x∈(0,+∞)恒成立,則a的取值范圍是(-∞,22).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

10.設(shè)x,y∈R,向量a=(1,x),=(3,2-x),若a,則實(shí)數(shù)x的取值為( �。�
A.1B.3C.1或-3D.3或-1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

11.不透明的袋子內(nèi)裝有相同的五個(gè)小球,分別標(biāo)有1-5五個(gè)編號(hào),現(xiàn)有放回的隨機(jī)摸取三次,則摸出的三個(gè)小球的編號(hào)乘積能被10整除的概率為( �。�
A.42125B.18125C.625D.12125

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案