分析 (Ⅰ)分別取PC,PB的中點E,F(xiàn),連結(jié)DE,EF,AF,證明AF⊥EF,AF⊥PB.推出AF⊥平面BPC,然后證明DE⊥平面BPC,即可證明平面DPC⊥平面BPC.….
(Ⅱ)解法1:連結(jié)BE,說明BE⊥CP,推出BE⊥平面DPC,過E作EM⊥PD,垂足為M,連結(jié)MB,說明∠BME為二面角C-PD-B的平面角.在△PDE中,求解即可.
解法2:以A為坐標原點,建立空間直角坐標系,求出相關點的坐標,求出平面PDC和面PBC的法向量,由空間向量的數(shù)量積求解二面角C-PD-B的余弦值即可.
解答 (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)證明:如圖,分別取PC,PB的中點E,F(xiàn),
連結(jié)DE,EF,AF,由題意知,四邊形ADEF為矩形,∴AF⊥EF.…(2分)
又∵△PAB為等邊三角形,
∴AF⊥PB.又∵EF∩PB=F,
∴AF⊥平面BPC.…(4分)
又DE∥AF.
∴DE⊥平面BPC,又DE?平面DPC,
∴平面DPC⊥平面BPC.…(5分)
(Ⅱ)解法1:連結(jié)BE,則BE⊥CP,由(Ⅰ)知,
BE⊥平面DPC,過E作EM⊥PD,垂足為M,連結(jié)MB,則∠BME為二面角C-PD-B的平面角.…(7分)
由題意知,DP=DC=√5,PC=2√2,∴PE=√2,∴PD=√3,
∴在△PDE中,ME=DE•EPDP=√305.…(10分)
又BE=√2,
∴BM=4√55,∴cos∠BME=MEBM=√64.…(12分)
(Ⅱ)解法2:如圖,以A為坐標原點,建立空間直角坐標系,則,A(0,0,0),B(0,2,0),P(√3,1,0),C(0,2,2),D(0,0,1).
→PB=(−√3,1,0),→PC=(−√3,1,2),→PD=(−√3,−1,1).…(8分)
設平面PDC和面PBC的法向量分別為→n=(x,y,z),→m=(a,b,c),
由{→n•→PD=0→n•→PC=0,得{x=−√3yz=−2y,令y=-1得→n=(√3,−1,2);
由{→m•→PD=0→m•→PB=0,得{b=√3ac=2√3a,令a=1得→m=(1,√3,2√3).…(10分)
∴二面角C-PD-B的余弦值為→m•→n|→m|•|→n|=√3−√3+4√32√2×4=√64.…(12分)
點評 本題考查平面與平面垂直的判定定理的應用,二面角的平面角的求法,考查空間想象能力以及計算能力.
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A. | -\frac{1}{3} | B. | -3 | C. | \frac{1}{3} | D. | 3 |
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A. | 1個 | B. | 2個 | C. | 3個 | D. | 4個 |
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