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15.如圖,在四棱錐P-ABCD中,CB⊥平面PAB,AD∥BC,且PA=PB=AB=BC=2AD=2.
(Ⅰ)求證:平面DPC⊥平面BPC;
(Ⅱ)求二面角C-PD-B的余弦值.

分析 (Ⅰ)分別取PC,PB的中點E,F(xiàn),連結(jié)DE,EF,AF,證明AF⊥EF,AF⊥PB.推出AF⊥平面BPC,然后證明DE⊥平面BPC,即可證明平面DPC⊥平面BPC.….
(Ⅱ)解法1:連結(jié)BE,說明BE⊥CP,推出BE⊥平面DPC,過E作EM⊥PD,垂足為M,連結(jié)MB,說明∠BME為二面角C-PD-B的平面角.在△PDE中,求解即可.
解法2:以A為坐標原點,建立空間直角坐標系,求出相關點的坐標,求出平面PDC和面PBC的法向量,由空間向量的數(shù)量積求解二面角C-PD-B的余弦值即可.

解答 (本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)證明:如圖,分別取PC,PB的中點E,F(xiàn),
連結(jié)DE,EF,AF,由題意知,四邊形ADEF為矩形,∴AF⊥EF.…(2分)
又∵△PAB為等邊三角形,
∴AF⊥PB.又∵EF∩PB=F,
∴AF⊥平面BPC.…(4分)
又DE∥AF.
∴DE⊥平面BPC,又DE?平面DPC,
∴平面DPC⊥平面BPC.…(5分)
(Ⅱ)解法1:連結(jié)BE,則BE⊥CP,由(Ⅰ)知,
BE⊥平面DPC,過E作EM⊥PD,垂足為M,連結(jié)MB,則∠BME為二面角C-PD-B的平面角.…(7分)
由題意知,DP=DC=5,PC=22,∴PE=2,∴PD=3,
∴在△PDE中,ME=DEEPDP=305.…(10分)
BE=2,
BM=455,∴cosBME=MEBM=64.…(12分)
(Ⅱ)解法2:如圖,以A為坐標原點,建立空間直角坐標系,則,A(0,0,0),B(0,2,0),P310,C(0,2,2),D(0,0,1).
PB=310,PC=312,PD=311.…(8分)
設平面PDC和面PBC的法向量分別為n=xyz,m=abc,
{nPD=0nPC=0,得{x=3yz=2y,令y=-1得n=312;
{mPD=0mPB=0,得{b=3ac=23a,令a=1得m=1323.…(10分)
∴二面角C-PD-B的余弦值為mn|m||n|=33+4322×4=64.…(12分)

點評 本題考查平面與平面垂直的判定定理的應用,二面角的平面角的求法,考查空間想象能力以及計算能力.

練習冊系列答案
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(Ⅱ) 求三角形OAB面積的最大值;
(Ⅲ)求證:直線PA,PB與x軸圍成一個等腰三角形.

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(2)證明:BC⊥PB;
(3)求二面角A-PB-C的余弦值.

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(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=-2,其中O為坐標原點,求直線l的方程;
(Ⅲ)若AB橢圓C經(jīng)過原點O的弦,且MN∥AB,判斷\frac{{{{|{AB}|}^2}}}{{|{MN}|}}是否為定值?若是定值,請求出,若不是定值,說明理由.

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其中正確的命題個數(shù)是( �。�
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