5.設(shè)函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$x3-ax2+3bx-2的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若f′(x)滿足f′(x+2)=f′(2-x),且f(x)≥-2在[1,3]上恒成立,則實(shí)數(shù)b的取值范圍為[7,+∞).

分析 先求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性,求出a的值,再分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可

解答 解:f′(x)=3x2-2ax+2b,
∵函數(shù)f′(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱,
∴$\frac{2a}{6}$=2,即a=6.
∴f(x)=$\frac{1}{3}$x3-6x2+3bx-2
∵f(x)≥-2在[1,3]上恒成立,
即$\frac{1}{3}$x3-6x2+2bx+1≥-2在[1,3]上恒成立,
∴2b≥-$\frac{1}{3}$x2+6x-$\frac{3}{x}$在[1,3]上恒成立,
令g(x)=-$\frac{1}{3}$x2+6x-$\frac{3}{x}$,x∈[1,3],
∴g′(x)=-$\frac{2}{3}$x+6+$\frac{3}{{x}^{2}}$>0在1,3]上恒成立,
∴g(x)在[1,3]上單調(diào)遞增,
∴g(x)max=g(3)=14,
∴2b≥14,
∴b≥7,
故b的范圍為[7,+∞),
故答案為:[7,+∞)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有關(guān).本題還考查了函數(shù)的恒成立問題,一般選用參變量分離的方法進(jìn)行處理,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題.屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(Ⅰ)若Q為A1B中點(diǎn),求證:PQ∥平面A1EF;
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