Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²+3bx-2的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若f′（x）滿足f′（x+2）=f′（2-x），且f（x）≥-2在[1，3]上恒成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為[7，+∞）．

Answer 1

分析 先求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，求出a的值，再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值即可

解答 解：f′（x）=3x²-2ax+2b，
∵函數(shù)f′（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
∴$\frac{2a}{6}$=2，即a=6．
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-6x²+3bx-2
∵f（x）≥-2在[1，3]上恒成立，
即$\frac{1}{3}$x³-6x²+2bx+1≥-2在[1，3]上恒成立，
∴2b≥-$\frac{1}{3}$x²+6x-$\frac{3}{x}$在[1，3]上恒成立，
令g（x）=-$\frac{1}{3}$x²+6x-$\frac{3}{x}$，x∈[1，3]，
∴g′（x）=-$\frac{2}{3}$x+6+$\frac{3}{{x}^{2}}$＞0在1，3]上恒成立，
∴g（x）在[1，3]上單調(diào)遞增，
∴g（x）_max=g（3）=14，
∴2b≥14，
∴b≥7，
故b的范圍為[7，+∞），
故答案為：[7，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有關(guān)．本題還考查了函數(shù)的恒成立問題，一般選用參變量分離的方法進(jìn)行處理，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題．屬于中檔題．