分析 ①如圖所示,取AB的中點(diǎn)D,連接PD,CD,由PA,PB,PC兩兩垂直,可得PC⊥平面ABP,利用線面垂直的性質(zhì)定理、三垂線定理可得AB⊥PD,AB⊥CD,因此∠CDP是二面角P-AB-C的平面角,利用直角三角形的邊角公式得出即可.
②由①可得:AB⊥平面CDP,可得平面CDP⊥平面ABC.過(guò)P作PE⊥CD,則PE⊥平面ABC,因此PE即為P到平面ABC的距離.利用三角形面積計(jì)算公式即可得出.
解答 解:①如圖所示,取AB的中點(diǎn)D,連接PD,CD,
∵PA,PB,PC兩兩垂直,
∴PC⊥平面ABP,
∵PA=PB=1,AD=DB,
∴AB⊥PD,PD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∴AB⊥CD,
∴∠CDP是二面角P-AB-C的平面角.
在Rt△CPD中,tan∠CDP=$\frac{CP}{PD}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$.
∴∠CDP=arctan$\sqrt{2}$.
②由①可得:AB⊥平面CDP,
∴平面CDP⊥平面ABC.
平面CDP∩平面ABC=CD.
過(guò)P作PE⊥CD,則PE⊥平面ABC.
∴PE即為P到平面ABC的距離.
在Rt△CDP中,PE=$\frac{CP•PD}{CD}$=$\frac{1×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1+(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
故答案分別為:arctan$\sqrt{2}$;$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、二面角的平面角、點(diǎn)到直線的距離、等面積變形,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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