Question

8．從點(diǎn)P出發(fā)的三條線段PA=PB=PC=1，且它們兩兩垂直，則二面角P-AB-C的大小為arctan$\sqrt{2}$；P到平面ABC的距離為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 ①如圖所示，取AB的中點(diǎn)D，連接PD，CD，由PA，PB，PC兩兩垂直，可得PC⊥平面ABP，利用線面垂直的性質(zhì)定理、三垂線定理可得AB⊥PD，AB⊥CD，因此∠CDP是二面角P-AB-C的平面角，利用直角三角形的邊角公式得出即可．
②由①可得：AB⊥平面CDP，可得平面CDP⊥平面ABC．過P作PE⊥CD，則PE⊥平面ABC，因此PE即為P到平面ABC的距離．利用三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：①如圖所示，取AB的中點(diǎn)D，連接PD，CD，
∵PA，PB，PC兩兩垂直，
∴PC⊥平面ABP，
∵PA=PB=1，AD=DB，
∴AB⊥PD，PD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴AB⊥CD，
∴∠CDP是二面角P-AB-C的平面角．
在Rt△CPD中，tan∠CDP=$\frac{CP}{PD}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴∠CDP=arctan$\sqrt{2}$．
②由①可得：AB⊥平面CDP，
∴平面CDP⊥平面ABC．
平面CDP∩平面ABC=CD．
過P作PE⊥CD，則PE⊥平面ABC．
∴PE即為P到平面ABC的距離．
在Rt△CDP中，PE=$\frac{CP•PD}{CD}$=$\frac{1×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{1+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案分別為：arctan$\sqrt{2}$；$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理、二面角的平面角、點(diǎn)到直線的距離、等面積變形，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．