Question

16．已知一元二次函數f（x）=ax²+2x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點（0，1），且滿足f（-4）=f（0）．
（I）求該二次函數的解析式及函數的零點．
（II）已知函數在（t-1，+∞）上為增函數，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）利用二次函數的圖象與y軸交于點（0，1），求出c，利用對稱軸求出a，即可得到二次函數的解析式．然后求解零點．
（II）利用函數在（t-1，+∞）上為增函數，對稱軸，列出不等式求解即可．

解答 解：（I）因為二次函數為f（x）=ax²+2x+c（a≠0）的圖象與y軸交于點（0，1），
故c=1..…．①
又因為函數f（x）滿足f（-4）=f（0）故：x=-$\frac{2}{2a}$=-2…..②..…（3分）
由①②得：a=$\frac{1}{2}$，c=1
故二次函數的解析式為：f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2x+1   …．（6分）
由f（x）=0，可得函數的零點為：-2$-\sqrt{2}$，-2+$\sqrt{2}$    …（8分）
（II）因為函數在（t-1，+∞）上為增函數，
且函數圖象的對稱軸為x=-2，
由二次函數的性質可知：t-1≥-2，故t≥-1   …（12分）

點評 本題考查二次函數的解析式的求法，函數的零點以及二次函數的簡單性質的應用，考查計算能力．