【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，且橢圓短軸的一個頂點到一個焦點的距離等于.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)經(jīng)過點的直線交橢圓于，兩點，點.

①若對任意直線總存在點，使得，求實數(shù)的取值范圍；

②設(shè)點為橢圓的左焦點，若點為的外心，求實數(shù)的值.

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

（1）依題意解之即得橢圓的方程.(2) ①設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程，根據(jù)，解得.，所以，即. 解得.由，即可解得m范圍 ②

由，.所以，解得,即可求出m值.

解：（1）依題意解得所以，

所以橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，

代入橢圓的方程，消去，得.

因為直線交橢圓于兩點，所以，

解得.

設(shè)，，則有，.

①設(shè)中點為，

則有，.

當時，因為，所以，即.

解得.

當時，可得，符合.

因此.

由，解得.

②因為點為的外心，且，所以.

由

消去，得，所以 ，也是此方程的兩個根.

所以，.

又因為，，所以，解得.

所以.

練習冊系列答案
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【題目】已知半圓：，、分別為半圓與軸的左、右交點，直線過點且與軸垂直，點在直線上，縱坐標為，若在半圓上存在點使，則的取值范圍是（ ）

A. B.

C. D.

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（1）求水渠MN長度的最小值；

（2）求種植柳葉馬鞭草區(qū)域MNC面積的最大值（水渠寬度忽略不計）．

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（1）求證：平面平面；

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A小區(qū)

得分范圍/分

頻率

B小區(qū)

（1）以每組數(shù)據(jù)的中點值作為該組數(shù)據(jù)的代表，求B小區(qū)的平均分；

（2）若A小區(qū)得分在內(nèi)的人數(shù)為人，B小區(qū)得分在內(nèi)的人數(shù)為人，求在 A，B 兩小區(qū)中所有參加問卷調(diào)查的居民中得分不低于分的頻率；

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【題目】設(shè)直線l的方程為y=(-a-1)x +a-2.

（1）求直線過定點A的坐標；

（2）若l在兩坐標軸上的截距相等，求l的方程；

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【題目】某市場研究人員為了了解產(chǎn)業(yè)園引進的甲公司前期的經(jīng)營狀況，對該公司2018年連續(xù)六個月的利潤進行了統(tǒng)計，并根據(jù)得到的數(shù)據(jù)繪制了相應(yīng)的折線圖，如圖所示

（1）由折線圖可以看出，可用線性回歸模型擬合月利潤（單位：百萬元）與月份代碼之間的關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測該公司2019年3月份的利潤；

（2）甲公司新研制了一款產(chǎn)品，需要采購一批新型材料，現(xiàn)有，兩種型號的新型材料可供選擇，按規(guī)定每種新型材料最多可使用個月，但新材料的不穩(wěn)定性會導致材料損壞的年限不相同，現(xiàn)對，兩種型號的新型材料對應(yīng)的產(chǎn)品各件進行科學模擬測試，得到兩種新型材料使用壽命的頻數(shù)統(tǒng)計如下表：

使用壽命

材料類型

個月

個月

個月

個月

總計

如果你是甲公司的負責人，你會選擇采購哪款新型材料？

參考數(shù)據(jù)：，.參考公式：回歸直線方程為，其中 .

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（2）設(shè)是項的“對稱數(shù)列”，其中、、、是首項為，公比為的等比數(shù)列，求各項的和；

（3）設(shè)是項的“對稱數(shù)列”，其中、、、是首項為，公差為的等差數(shù)列，求前項的和.

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