已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率為，且橢圓E上一點到兩個焦點距離之和為4；l1，l2是過點P（0，2）且互相垂直的兩條直線，l1交E于A，B兩點，l2交E交C，D兩點，AB，CD的中點分別為M，N．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）求l1的斜率k的取值范圍；
（Ⅲ）求的取值范圍．
【答案】分析：（1）設(shè)橢圓的標準方程，根據(jù)離心率求得a和c關(guān)系，進而根據(jù)a求得b，則橢圓的方程可得．
（2）由題意知，直線l1的斜率存在且不為零設(shè)直線l1和l2的方程，分別于橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)判別式求得k的范圍，最后綜合可得答案．
（3）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y），根據(jù)韋達定理求得x和y的表達式，進而表示M和N的坐標，最后表示出根據(jù)k的范圍確定答案．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，
由
∴橢圓方程為；
（2）由題意知，直線l1的斜率存在且不為零
∵，∴．
由消去y并化簡整理，
得（3+4k2）x2+16kx+4=0
根據(jù)題意，△=（16k）2-16（3+4k2）＞0，解得．
同理得，
∴；
（Ⅲ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x，y）
那么，∴，∴
同理得，即
∴
∵，∴
∴
即的取值范圍是．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．此類題綜合性強，要求學生要有較高地轉(zhuǎn)化數(shù)學思想的運用能力，能將已知條件轉(zhuǎn)化到基本知識的運用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A(-2，0)，B(2，0)，C(1，
32
)三點
（1）求橢圓方程
（2）若此橢圓的左、右焦點F1、F2，過F1作直線L交橢圓于M、N兩點，使之構(gòu)成△MNF2證明：△MNF2的周長為定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三點．
（1）求橢圓E的方程：
（2）若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點，F(xiàn)（-1，0），H（1，0），當△DFH內(nèi)切圓的面積最大時．求內(nèi)切圓圓心的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•閔行區(qū)二模）已知橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過M(2，1)，N(2
2
，0)兩點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b（b＜0），直線l交橢圓E于兩個不同點A、B，直線MA與MB的斜率分別為k1、k2，求證：k1+k2=0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過A（-2，0）、B（2，0）、C(1，
32
)三點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點D為橢圓E上不同于A、B的任意一點，F(xiàn)（-1，0），H（1，0），當△DFH內(nèi)切圓的面積最大時，求內(nèi)切圓圓心的坐標；
（3）若直線l：y=k（x-1）（k≠0）與橢圓E交于M、N兩點，證明直線AM與直線BN的交點在定直線上并求該直線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓E的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過M(2，1)、N(2
2
，0)兩點，P是E上的動點．
（1）求|OP|的最大值；
（2）若平行于OM的直線l在y軸上的截距為b（b＜0），直線l交橢圓E于兩個不同點A、B，求證：直線MA與直線MB的傾斜角互補．

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