Question

設函數f（x）=a²lnx-x²+ax，a＞0，且f（1）≥e-1．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間
（Ⅱ）求所有的實數a，使e-1≤f（x）≤e²對x∈[1，e]恒成立．注：e為自然對數的底數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減來求f（x）的單調區(qū)間即可．
（Ⅱ）先利用（Ⅰ）的結論求出f（x）在[1，e]上的最值，把原不等式轉化為比較f（x）在[1，e]上的最值與兩端點值之間的關系即可求所有的實數a．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）=a²lnx-x²+ax，其中x＞0．
所以f'（x）=

a2

x

-2x+a=-

(x-a)(2x+a)

x

．
由于a＞0，所以f（x）的增區(qū)間為（0，a），f（x）的減區(qū)間為（a，+∞）．
（Ⅱ）證明：由題得，f（1）=a-1≥e-1，即a≥e，
由（Ⅰ）知f（x）在[1，e]內單調遞增
要使e-1≤f（x）≤e²對x∈[1，e]恒成立，
只要

f(1)=a-1≥e-1 f(e)=a2-e2+ae≤e2

解得a=e．

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．