Question

(1)設θ∈[0，2π)，證明動直線xcosθ+ysinθ+3=0恒與一定圓相切，并求此定圓C的方程；

(2)設M的坐標為(4，0)，過M作直線與(1)中的定圓C交于A、B兩點，動點P滿足，求P的軌跡.

Answer 1

解：(1)∵O(0，0)到直線xcosθ+ysinθ+3=0

之距為

∴直線恒與圓C：x²+y²=9相切. 

(2)設AB：y=k(x-4)，

代入x²+y²=9x²+k²(x-4)²=9

(1+k²)x²-8k²x+16k²-9=0，令A(x₁，x₂)，B(x₂，y₂)

則x₁+x₂=y₁+y₂=k(x₁-4)+k(x₂-4)

=k(x₁+x₂)-8k=

令(x，y)，

則(x，y)=(x₁+x₂,y₁+y₂)=()，從而有

 

又y=k(x-4)與圓x²+y²=9相交

∴，故,故P的軌跡是以(,0)為圓心，為半徑的一段弧，其中橫坐標x∈[0，].