Question

 

已知橢圓C的中心在坐標原點，離心率，且其中一個焦點與拋物線的焦點重合．(1)求橢圓C的方程；

(2)過點的動直線l交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得無論l如何轉動，以AB為直徑的圓恒過點T，若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：(1)設橢圓的方程為，離心率，，

拋物線的焦點為，所以，

橢圓C的方程是x²+=1                ………… 5分

    (2)若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1，若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是(x+)²+y²=．由解得即兩圓相切于點(1，0)．

因此所求的點T如果存在，只能是(1，0)．…（7分）。點T(1，0)就是所求的點．證明如下：

當直線l垂直于x軸時，以AB為直徑的圓過點T(1，0)．

若直線l不垂直于x軸，可設直線l：y=k(x+)．由即(k²+2)x²+k²x+k=0.

設點A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則…………（9分）

又因為=(x, y₁), =(x, y₂),

·=(x)(x)+y₁y₂=(x)(x)+k²(x₁+)(x₂+)=(k²+1)x₁x₂+(k)(x₁+x₂)+k²+1

=(k²+1) +(k) + +1=0，

所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點T(1，0)．

所以在坐標平面上存在一個定點T(1，0)滿足條件． …………（13分）