函數(shù)f(x)=
1
2
sin2xsinφ+cos2xcosφ-
1
2
sin(
π
2
+φ)(0<φ<π)
,其圖象過(guò)點(diǎn)(
π
6
,
1
2
).
(I)求φ的值;
(Ⅱ)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的
1
2
,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)y=g(x)的周期與單調(diào)遞減區(qū)間.
分析:(I)圖象過(guò)點(diǎn)(
π
6
1
2
),代入方程結(jié)合φ的范圍,求φ的值;
(Ⅱ)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式,將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的
1
2
,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求出函數(shù)的解析式,利用正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間,求函數(shù)y=g(x)的周期與單調(diào)遞減區(qū)間.
解答:解:(1)由條件知
1
2
=
3
4
sinφ+
1
4
cosφ=
1
2
sin(φ+
π
6
)

φ+
π
6
=
π
2
?φ=
π
3

(2)由(1)代入得
f(x)=
1
2
sin2x
3
2
+cos2x
1
2
-
1
2
cosφ

=
1
2
sin2x
3
2
+
1+cos2x
2
1
2
-
1
4
=
1
2
sin(2x+
π
6
)

∴函數(shù)g(x)=
1
2
sin(4x+
π
6
)

∴函數(shù)y=g(x)的周期為T=
π
2

遞減區(qū)間為[
π
12
+
1
2
kπ,
π
3
+
1
2
kπ]
 &(k∈Z)
點(diǎn)評(píng):本題是中檔題,考查三角函數(shù)的值的求法,考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn),函數(shù)的單調(diào)性,圖象的平移變換,是?碱}型,考查計(jì)算能力.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

函數(shù)f(x)=
1
2
sin(ωx+φ)(φ∈(0,π))的圖象交x軸于相鄰的兩點(diǎn)A,B,A,B的距離為1,圖象過(guò)點(diǎn)(1,-
1
2
),則f(x)=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
sinωx+
3
2
cosωx
(ω>0),直線x=x1,x=x2是y=f(x)圖象的任意兩條對(duì)稱軸,且|x1-x2|的最小值為
π
4

(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移
π
8
個(gè)單位后,再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象.若關(guān)于x的方程g(x)+k=0,在區(qū)間[0,
π
2
]
上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)P為函數(shù)f(x)=
1
2
sin(πx+
π
4
)
的圖象上的一個(gè)最高點(diǎn),Q為函數(shù)g(x)=
1
2
cosπx
圖象上的一個(gè)最低點(diǎn),則|PQ|的最小值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•靜安區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=
1
2
sin(2ax+
7
)的最小正周期為4π,則正實(shí)數(shù)a=
1
4
1
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

設(shè)P為函數(shù)f(x)=
1
2
sin(πx+
π
4
)
的圖象上的一個(gè)最高點(diǎn),Q為函數(shù)g(x)=
1
2
cosπx
圖象上的一個(gè)最低點(diǎn),則|PQ|的最小值為( 。
A.
5
4
B.
41
4
C.
7
4
D.
9
4

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