Question

19．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的兩焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，短軸的一個端點為點P，△PF₁F₂內(nèi)切圓的半徑為$\frac{3}$．設(shè)過點F₂的直線l被橢圓C截得的線段為RS，當l⊥x軸時，|RS|=3
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）在x軸上是否存在一點T，使得當l變化時，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱？若存在，請求出點T的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由內(nèi)切圓性質(zhì)得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，將x=c代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，得y=±$\frac{^{2}}{a}$，由此求出a=2，b=$\sqrt{3}$，從而得到橢圓C的標準方程．
（2）當直線l垂直于x軸時，x軸上任意一點都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱，當直線l不垂直于x軸時，假設(shè)存在T（t，0）滿足條件，設(shè)l的方程為y=k（x-1），R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，由此利用根與系數(shù)的關(guān)系、根的判別式、直線關(guān)于x軸對稱，結(jié)合已知條件能求出存在T（4，0），使得當l變化時，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱．

解答 解：（1）由內(nèi)切圓性質(zhì)得$\frac{1}{2}×2c×b=\frac{1}{2}×（2a+2c）×\frac{3}$，
解得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，
將x=c代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，得y=±$\frac{^{2}}{a}$，∴$\frac{2^{2}}{a}=3$，
又a²=b²+c²，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）當直線l垂直于x軸時，x軸上任意一點都滿足TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱，
當直線l不垂直于x軸時，假設(shè)存在T（t，0）滿足條件，
設(shè)l的方程為y=k（x-1），R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，①，其中△＞0，
∵TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-t}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-t}$=0，②
∵R，S兩點在直線y=k（x-1）上，
∴y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），代入②，得：
$\frac{k（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-t）+k（{x}_{2}-1）（{x}_{1}-t）}{（{x}_{1}-t）（{x}_{2}-t）}$=$\frac{k[2{x}_{1}{x}_{2}-（t+1）（{x}_{1}+{x}_{2}）+2t]}{（{x}_{1}-t）（{x}_{2}-t）}$=0，
∴2x₁x₂-（t+1）（x₁+x₂）+2t=0，③
將①代入③，得$\frac{8{k}^{2}-24-（t+1）8{k}^{2}+2t（3+4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{6t-24}{3+4{k}^{2}}$=0，④
要使得④與k的取值無關(guān)，則t=4，
綜上所述，存在T（4，0），使得當l變化時，總有TS與TR所在直線關(guān)于x軸對稱．

點評 本題考查橢圓方程、韋達定理、根的判別式、直線方程等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．