Question

17．已知在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}x=3cost\\ y=2+2sint\end{array}$（t為參數(shù)），P是C上任意一點，以x軸的非負半軸為極軸，原點為極點建立極坐標系，并在兩坐標系中取相同的長度單位．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）直線l的極坐標方程為θ=$\frac{π}{4}$（ρ∈R），求P到直線l的最大距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由cos²t+sin²t=1，消去t，化簡整理，可得曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）解法一、求得直線方程y=x，設(shè)與直線l平行的直線方程為y=x+m，代入曲線方程，運用判別式為0，可得m的值，由平行直線的距離公式可得最大值；
解法二、設(shè)點P（3cost，2+2sint），運用點到直線的距離公式和輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）由x=3cost，y=2+2sint，且cos²t+sin²t=1，
消去參數(shù)t，得曲線C的直角坐標方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{{{{（{y-2}）}^2}}}{4}=1$．
（Ⅱ）解法一、直線l的直角坐標方程為y=x．
設(shè)與直線l平行的直線方程為y=x+m，代入$\frac{x^2}{9}+\frac{{{{（{y-2}）}^2}}}{4}=1$，
整理得13x²+18（m-2）x+9[（m-2）²-4]=0．
由△=[18（m-2）]²-4×13×9[（m-2）²-4]=0，得（m-2）²=13，
所以$m=2±\sqrt{13}$．
當點P位于直線$y=x+2+\sqrt{13}$與曲線C的交點（切點）時，
點P到直線l的距離最大，為$\frac{{2+\sqrt{13}}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{2\sqrt{2}+\sqrt{26}}}{2}$．
解法二、設(shè)點P（3cost，2+2sint），
則點P到直線x-y=0的距離為$\frac{{|{3cost-2-2sint}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\sqrt{13}sin（{t-φ}）+2}|}}{{\sqrt{2}}}$，
其中$cosφ=\frac{2}{{\sqrt{13}}}，sinφ=\frac{3}{{\sqrt{13}}}$．
所以距離的最大值是$\frac{{\sqrt{13}+2}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{2\sqrt{2}+\sqrt{26}}}{2}$．

點評 本題考查參數(shù)方程與直角坐標方程的互化，注意運用同角的平方關(guān)系，考查點到直線的距離的最大值，注意運用參數(shù)方程和點到直線的距離公式，以及聯(lián)立直線和曲線方程，運用判別式為0，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．