Question

在三棱錐S-ABC中，SA⊥底面ABC，BC⊥AC，且AC=1，BC=

2

，又D是棱SC上一點(diǎn)，AD+DB的最小值為

5

，則三棱錐S-ABC的外接球的體積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：把平面SAC和平面SCB繞SC展平成一個(gè)平面，在平面內(nèi)連結(jié)AB，交SC于D點(diǎn)，此時(shí)AD+BD取得最小值即AB的長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理，可得∠SCA為45度，從而可以得到SA=AC，SB=2，所以外接球的半徑為1，則體積可求．

解答： 解：∵SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴SA⊥BC，
∵BC⊥AC，AC∩SA=A，
∴BC⊥平面SAC，
∵SC?平面SAC，
∴BC⊥SC，
∴△ABC，△BCS，△SAC都是RT△，
把平面SAC和平面SCB繞SC展平成一個(gè)平面，在平面內(nèi)連結(jié)AB，交SC于D點(diǎn)，則AD+BD就是最小值，
在三角形ACB中，根據(jù)余弦定理，AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos∠ACB，
∴5=1+2-2×1×

2

cos∠ACB，
∴∠ACB=135°，
∠SCB=90°，∠SCA=45°，∠SAC=90°，△SAC是等腰RT△，
SA=AC=1，SC=

2

，SC=BC=

2

，△SCB也是等腰RT△，SB=2，
選取SB中點(diǎn)O，則O點(diǎn)是二直角三角形SAB、SCB的外接圓心，
∵SO=OB=OC=OA，∴O是外接球的球心，
R=

SB

2

=1，
∴球體積=

4

3

πR³=

4

3

π．
故答案為：

4

3

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查球的體積，考查圖形的展開，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．