Question

如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、DB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF⊥B₁C；
（Ⅱ）求三棱錐B₁-EFC的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）法一：由題意，欲證線(xiàn)線(xiàn)垂直，可先證出B₁C⊥平面BC₁D₁再由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)證明EF⊥B₁C即可；
法二：可由題設(shè)條件證明出EF⊥平面B₁FC，再由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)得出線(xiàn)線(xiàn)垂直；
（Ⅱ）由題意，可先證明出CF⊥平面BDD₁B₁，由此得出三棱錐的高，再求出底面△B₁EF的面積，然后再由棱錐的體積公式即可求得體積．

解答：（Ⅰ）證明一：連接BD₁，BC₁
∵E、F分別為DD₁、BD的中點(diǎn)∴EF∥BD₁
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁
∴D₁C₁⊥平面BCC₁B₁∴D₁C₁⊥B₁C
∵正方形BCC₁B₁∴B₁C⊥BC₁
∵D₁C₁∩BC₁=C₁∴B₁C⊥平面BC₁D₁∴B₁C⊥BD₁
∵EF∥BD₁∴EF⊥B₁C
證明二：∵

ED

FB

=

1

2

=

2

2

=

DF

BB1

∴Rt△EDF∽R(shí)t△FBB₁
∴∠DEF=∠BFB₁∴∠BFB₁+∠DFE=∠DEF+∠DFE=90°∴∠EFB₁=90°
∴EF⊥FB₁    又∵CF⊥平面BDD₁B∴CF⊥EF
B₁F∩CF=F∴EF⊥平面B₁FC∴EF⊥B₁C
（Ⅱ）∵CB=CD，BF=DF∴CF⊥BD∵DD₁⊥平面ABCD∴DD₁⊥CF
又DD₁∩BD=D∴CF⊥平面BDD₁B₁   又CF=

2

方法一：△B₁EF的面積=2×2

2

-

2

-

2

-

2

2

=

3

2

2

方法二：∵EF⊥平面B₁FC∴EF⊥FB₁
EF=

3

，F(xiàn)B₁=

6

Rt△B₁EF的面積=

1

2

×EF×FB₁=

1

2

×

3

×

6

=

3

2

2

∴V_B1-EFC=V_C-B1EF=

1

3

×S_△B1EF×CF=

1

3

× 

3

2

 

2

×

2

=1
∴三棱錐B₁-EFC的體積為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理與線(xiàn)面垂直的判定定理及錐體的體積的求法，考查了空間感知能力及判斷推理的能力，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的定理及公式，本題是立體幾何中的常規(guī)題題型，難度不大，計(jì)算麻煩．