Question

設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（1）設b_n=，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列：
（2）設數(shù)列{c_n}滿足c_n=（n∈N^*），T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…c_nc_n+1，若對一切n∈N^*不等式2mT_n＞C_n恒成立，實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）當n=1時：S₁=a₁=2a₁-2^1|1，解得a₁=4
當n≥2時
由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹　…①
且S_n-1=2a_n-1-2ⁿ　…②
①-②得：a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ
有：a_n=2a_n-1+2ⁿ
得，
∴b_n-b_n-1=1，
，
故數(shù)列{b_n}是以2為首項，以1為公差的等差數(shù)列．
（2）由（1）得：b_n=1+2（n-1）=2n-1，
即a_n=（n+1）•2ⁿ．
∴，
∴，
∴，
由2mT_n＞c_n，得：，
得，
又令，
∴
=，
故f（n）在n∈N^*時單調遞減，
∴，
得m＞．
分析：（1）當n=1時：S₁=a₁=2a₁-2ⁿ⁺¹，解得a₁=4當n≥2時，由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得：a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，所以a_n=2a_n-1+2ⁿ，由此能夠證明數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列．
（2）由b_n=1+2（n-1）=2n-1，知a_n=（n+1）•2ⁿ．所以，故，由2mT_n＞c_n，得，令，由f（n）在n∈N^*時單調遞減，能求出m的值．
點評：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項，結合數(shù)列求不等式的處理問題，對數(shù)學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．