Question

16．如圖，多面體ABCDE中，AB=AC，平面BCDE⊥平面ABC，BE∥CD，CD⊥BC，BE=1，BC=2，CD=3，M為BC的中點．
（Ⅰ）若N是棱AE上的動點，求證：DE⊥MN；
（Ⅱ）若平面ADE與平面ABC所成銳二面角為60°，求棱AB的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結EM、AM、DM，推導出AM⊥DE，DE⊥EM，從而DE平面AEM，由此能證明DE⊥MN．
（Ⅱ）取DE的中點P，建立空間直角坐標系M-xyz，利用向量法能求出結果．

解答 證明：（Ⅰ）連結EM、AM、DM，
∵AB=AC，且M為BC的中點，∴AM⊥BC，
∵平面BCDE⊥平面ABC，∴AM⊥平面BCDE，∴AM⊥DE，
∵在直角梯形BCDE中，BE=1，BC=2，CD=3，
∴△DEM中，DE=2$\sqrt{2}$，EM=$\sqrt{2}$，DM=$\sqrt{10}$，
∴DE²+EM²=DM²，∴DE⊥EM，
又AM∩EM=M，∴DE⊥平面AEM，
∵MN?平面AEM，∴DE⊥MN．
解：（Ⅱ）取DE的中點P，則PM∥BE，
∵BE⊥BC，∴PM⊥BC，由（1）知，AM⊥平面BCDE，
∴MB、MA、MP兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標系M-xyz，
設AM=t，（t＞0），則A（0，t，0），D（-1，0，3），E（1，0，1），
∴$\overrightarrow{AD}$=（-1，-t，3），$\overrightarrow{DE}$=（2，0，-2），
設平面ADE的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{m}=-x-ty+3z=0}\\{\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{m}=2x-2z=0}\end{array}\right.$，令x=t，則$\overrightarrow{m}$=（t，2，t），
∵平面ABC的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
∵二面角A-DE-B為60°，
∴|cos60°|=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{|t|}{\sqrt{2{t}^{2}+1}}$，
解得t=$\sqrt{2}$，此時AB=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查二面角、空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想、函數與方程思想，考查創(chuàng)新意識、應用意識，是中檔題．