Question

已知M（1+cos2x，1），N(1，

3

sin2x+a)（x∈R，a∈R，a是常數(shù)），且y=

OM

•

ON

（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若x∈[0，

π

2

]時(shí)，f（x）的最大值為4，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量數(shù)量積的定義可得f(x)=cos2x+

3

sin2x+1+a
（2）利用和差角公式可得f(x)=2sin(2x+

π

6

)+a+1，分別令2kπ-

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

2

，2kπ+

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

3π

2

分別解得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間和減區(qū)間
（3）由0≤x≤

π

2

求得

π

6

≤2x+

π

6

≤

13π

6

，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求最大值，進(jìn)而求出a的值

解答：解：（1）y=

OM

•

ON

=1+cos2x+

3

sin2x+a，
所以f(x)=cos2x+

3

sin2x+1+a．
（2）由（1）可得f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1+a，
由2kπ-

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

3

＜x＜kπ+

π

6

(k∈Z)；
由2kπ+

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

3π

2

，解得kπ+

π

6

＜x＜kπ+

2π

3

(k∈Z)，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)，
單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)．
（3）f(x)=2sin(2x+

π

6

)+1+a，
因?yàn)?span id="oeqwd7h" class="MathJye">0≤x≤

π

2

，
所以

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

時(shí)，f（x）取最大值3+a，
所以3+a=4，即a=1．

點(diǎn)評(píng)：本題以向量的數(shù)量積為載體考查三角函數(shù)y=Asin（wx+∅）的性質(zhì)，解決的步驟是結(jié)合正弦函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，讓wx+∅作為整體滿足正弦函數(shù)的中x所滿足的條件，分別解出相關(guān)的量．