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17.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0),其一個(gè)頂點(diǎn)為B(0,4),離心率為55,直線l交橢圓C于M,N兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線l的方程為y=x-4,求弦MN的長(zhǎng);
(3)如果△BMN的重心恰好為橢圓的右焦點(diǎn)F,求直線l方程的一般式.

分析 (1)由已知得b=4,結(jié)合離心率及隱含條件求得a,則橢圓方程可求;
(2)聯(lián)立直線方程與橢圓方程,求出M,N的橫坐標(biāo),代入弦長(zhǎng)公式得答案;
(3)橢圓右焦點(diǎn)F得坐標(biāo)為(2,0),設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q(x0,y0),利用三角形重心的性質(zhì)列式求得Q,再設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及點(diǎn)差法列式求得直線MN的斜率,代入直線方程點(diǎn)斜式得答案.

解答 解:(1)由已知得,b=4,且ca=55,即c2a2=15
a22a2=15,得a2=20.
∴橢圓方程為x220+y216=1;
(2)聯(lián)立{y=x4x220+y216=1,得9x2-40x=0,解得x1=0,x2=409
∴所求弦長(zhǎng)|MN|=2|x2x1|=4029;
(3)橢圓右焦點(diǎn)F得坐標(biāo)為(2,0),設(shè)線段MN的中點(diǎn)為Q(x0,y0),
由三角形重心的性質(zhì)BF=2FQ,又B(0,4),
∴(2,-4)=2(x0-2,y0),得x0=3,y0=-2.
即Q(3,-2),
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1+x2=6,y1+y2=-4.
x1220+y1216=1,x2220+y2216=1
以上兩式相減得:x1+x2x1x220+y1+y2y1y216=0
kMN=y1y2x1x2=45×x1+x2y1+y2=45×64=65
∴直線MN的方程為y+2=65x3,
即6x-5y-28=0.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,訓(xùn)練了“點(diǎn)差法”在求解中點(diǎn)弦問(wèn)題中的應(yīng)用,是中檔題.

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