Question

1．某人第一天8：00從A地開車出發(fā)，6小時(shí)后到達(dá)B地，第二天8：00從B地出發(fā)，沿原路6小時(shí)后返回A地．則在此過程中，以下說法中
①一定存在某個(gè)位置E，兩天經(jīng)過此地的時(shí)刻相同
②一定存在某個(gè)時(shí)刻，兩天中在此刻的速度相同
③一定存在某一段路程EF（不含A、B），兩天在此段內(nèi)的平均速度相同．（以上速度不考慮方向）
正確說法的序號(hào)是①②．

Answer 1

分析 ①設(shè)函數(shù)s（t）表示此人第一天距離A地的路程，則其是一個(gè)不減的函數(shù)，設(shè)函數(shù)l（t）表示此人第二天距離A地的路程，則其是一個(gè)不增的函數(shù)，畫出函數(shù)的大致圖象，由圖可知①正確；
②畫出兩天的速度（自變量為時(shí)間t）函數(shù)圖象并求定積分（即與x軸圍城的面積），由定積分相等可知兩函數(shù)在（0，6）內(nèi)必有交點(diǎn)可知②正確；
③結(jié)合題意舉例說明錯(cuò)誤．

解答 解：①、設(shè)函數(shù)s（t）表示此人第一天距離A地的路程，則其是一個(gè)不減的函數(shù)，設(shè)函數(shù)l（t）表示此人第二天距離A地的路程，則其是一個(gè)不增的函數(shù)，其中t表示時(shí)間，s（t）、l（t）的定義域都是[0，6]，值域相同．同一坐標(biāo)系畫出s（t）、l（t）的圖象，必有一個(gè)交點(diǎn)，即兩天中在此刻經(jīng)過此點(diǎn)（如圖1），故①正確；
②、畫出兩天的速度（自變量為時(shí)間t）函數(shù)圖象并求定積分（即與x軸圍城的面積），其幾何意義就是路程，不可能一個(gè)總在另一個(gè)下方．在交點(diǎn)處時(shí)刻，他們的速度相等（如圖2），故②正確；
③、在某個(gè)路程函數(shù)s（t）中，過s（t） 上一點(diǎn)作平行于t，s軸的矩形，如果四個(gè)頂點(diǎn)都在曲線上，則意味著速度的絕對(duì)值相等，（對(duì)角線就是割線，斜率就是平均速度），但不是每種函數(shù)曲線都能成功，圖3 顯示可以，函數(shù)模型就是兩個(gè)一次函數(shù)，圖4顯示不成功，可以構(gòu)造函數(shù)模型為（這里假定時(shí)間t∈（0，6）AB之間距離為4）$s（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x，x∈（0，2）\\ \frac{3}{4}x-\frac{1}{2}，x∈[2，6）\end{array}\right.$，$l（x）=\left\{\begin{array}{l}-3x+4，x∈（0，1）\\-\frac{1}{5}（x-6），x∈[1，6）\end{array}\right.$．在這個(gè)圖象上經(jīng)計(jì)算，找不到這樣的矩形，故③錯(cuò)誤．
∴正確的說法是①②．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的圖象，貼近生活，敘述簡單，考察學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力，運(yùn)用了數(shù)學(xué)建模思想，函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)具體問題進(jìn)行抽象思維，是中檔題．