Question

6．過正四面體ABCD的頂點A作一個形狀為等腰三角形的截面，且使截面與底面BCD所成的角為75°，這樣的截面共可作出18個．

Answer 1

分析 計算二面角A-CD-B的大小，得出根據(jù)與75°的大小關系及對稱性判斷截面?zhèn)�數(shù)．

解答 解：作正四面體A-BCD的高AO，連接BO交CD于E，連接AE．
則E為CD的中點，O為△等邊三角形BCD的中心．
∴BE⊥CD，AE⊥CD，∴∠AEB為二面角A-CD-B的平面角．
設AB=2，則BE=$\sqrt{3}$，∴OE=$\frac{1}{3}BE=\frac{\sqrt{3}}{3}$，OB=$\frac{2}{3}BE=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴AO=$\sqrt{A{B}^{2}-B{O}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴tan∠AEB=$\frac{AO}{OE}=2\sqrt{2}$．
∵tan75°=$\frac{sin75°}{cos75°}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}$=2+$\sqrt{3}$＞2$\sqrt{2}$，
∴∠AEB＜75°．
在平面BCD內(nèi)，以O為圓心，以OA•tan75°為半徑作圓O，則圓O在△BCD內(nèi)部．
∴若截面AMN與底面BCD所成角為75°，則截面AMN與平面BCD的交線為圓O的切線．
（1）若圓O的切線與△BCD的一邊平行，如圖1所示：則存在6個符合條件的截面三角形AMN．
（2）若圓O的切線過三角形的頂點，不妨設過點B，交CD于M，如圖2所示：

則由△ACM≌△BCM可得AM=BM，故截面ABM為符合條件的截面三角形，
顯然存在6個這樣的截面三角形．
（3）若圓O的切線MN與三角形BCD的兩邊相交，不妨設與NC交于M，與CD交于N，且BM=CN，
如圖3所示：

顯然△ABM≌△ACN，故而AM=AN，
∴截面AMN為符合條件的截面三角形．
顯然這樣的截面也有6個．
綜上，符合條件的截面共有18個．
故答案為：18．

點評 本題考查了正四面體的結(jié)構(gòu)特征，二面角的計算，屬于中檔題．