Question

15．已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f（x）=ax²-bx+1．
（1）設(shè)集合P={-1，1，2，3}，Q={-3，-2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（2）設(shè)點(diǎn)（a，b）是區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2≥0}\\{x+2y+2≥0}\\{x-y-1≤0}\end{array}\right.$內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)的概率．

Answer 1

分析 利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出所包括的基本事件的個(gè)數(shù)（2）本題是一個(gè)等可能事件的概率問(wèn)題，根據(jù)第一問(wèn)做出的函數(shù)是增函數(shù)，得到試驗(yàn)發(fā)生包含的事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域和滿足條件的事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域，做出面積，得到結(jié)果

解答 解：（1）（a，b）共有（-1，-3），（-1，-2），（-1，3），（-1，4），（1，-3），（1，-2），（1，3），（1，4），（2，-3），（2，-2），（2，3），（2，4），（3，-3），（3，-2），（3，3），（3，4）16種情況．
二次函數(shù)f（x）=ax²-bx+1的對(duì)稱軸x=$\frac{2a}$，
∵函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，∴$\frac{2a}$≤1，即b≤2a，且a＞0，
有（1，-3），（1，-2），（2，-3），（2，-2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，-3），（3，-2），（3，3），（3，4），共11種情況．
∴函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率P=$\frac{11}{16}$．
（2）由（1）知，點(diǎn)（a，b）是區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2≥0}\\{x+2y+2≥0}\\{x-y-1≤0}\end{array}\right.$對(duì)應(yīng)的區(qū)域如圖黑色部分區(qū)域，由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+2=0}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$得到A（4，3），所以面積為$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×\frac{|4+2×3+2|}{\sqrt{5}}$=6，
滿足函數(shù)f（x）=ax²-bx+1在區(qū)是間[1，+∞）上為減函數(shù)條件是當(dāng)且僅當(dāng)2a≥b，且a＜0，對(duì)應(yīng)區(qū)域如圖黃色區(qū)域，由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{x+2y+2=0}\end{array}\right.$得到交點(diǎn)坐標(biāo)（$-\frac{2}{5}，-\frac{4}{5}$，）所以面積為$\frac{1}{2}×1×\frac{2}{5}=\frac{1}{5}$，所以函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是減函數(shù)的概率為兩部分面積比為$\frac{\frac{1}{5}}{6}=\frac{1}{30}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概型和幾何概型；古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù)，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過(guò)長(zhǎng)度、面積、和體積、的比值得到．