Question

17．若存在正常數(shù)a，b，使得?x∈R有f（x+a）≤f（x）+b恒成立，則稱f（x）為“限增函數(shù)”．給出下列三個函數(shù)：①f（x）=x²+x+1；②$f（x）=\sqrt{|x|}$；③f（x）=sin（x²），其中是“限增函數(shù)”的是（　�。�

• A． ①②③
• B． ②③
• C． ①③
• D． ③

Answer 1

分析 假設(shè)各函數(shù)為“限增函數(shù)”，根據(jù)定義推導f（x+a）≤f（x）+b恒成立的條件，判斷a，b的存在性即可得出答案．

解答 解：對于①，f（x+a）≤f（x）+b可化為：（x+a）²+（x+a）+1≤x²+x+1+b，
即2ax≤-a²-a+b，即x≤$\frac{-{a}^{2}-a+b}{2a}$對一切x∈R均成立，
由函數(shù)的定義域為R，故不存在滿足條件的正常數(shù)a、b，故f（x）=x²+x+1不是“限增函數(shù)”；
對于②，若f（x）=$\sqrt{|x|}$是“限增函數(shù)”，則f（x+a）≤f（x）+b可化為：$\sqrt{|x+a|}$≤$\sqrt{|x|}$+b，
∴|x+a|≤|x|+b²+2b$\sqrt{|x|}$恒成立，又|x+a|≤|x|+a，∴|x|+a≤|x|+b²+2b$\sqrt{|x|}$，∴$\sqrt{|x|}$≥$\frac{a-^{2}}{2b}$，
顯然當a＜b²時式子恒成立，∴f（x）=$\sqrt{|x|}$是“限增函數(shù)”；
對于③，∵-1≤f（x）=sin（x²）≤1，∴f（x+a）-f（x）≤2，
∴當b≥2時，a為任意正數(shù)，使f（x+a）≤f（x）+b恒成立，故f（x）=sin（x²）是“限增函數(shù)”．
故選B．

點評 本題考查了新定義的理解，函數(shù)存在性與恒成立問題研究，屬于中檔題．