Question

已知函數f(x)=(log3

x

27

)(log33x)
（1）設log₃x=t，試將f（x）表示成t的函數g（t）；
（2）若x∈[

1

27

，

1

9

]，求函數f（x）最大值和最小值；
（3）若方程f（x）+m=0有兩根α，β，試求α•β的值．

Answer 1

分析：（1）利用對數的運算法則商的對數法則及積的對數法則將f（x）用t表示．
（2）由x的范圍t的范圍，利用二次函數的對稱軸公式求出對稱軸，利用二次函數的單調性求出二次函數的最值．
（3）利用二次方程根與系數的關系得到α，β滿足的等式，求出αβ的值．

解答：解：（1）f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1）
令log₃x=t，∴g（t）=t²-2t-3，
（2）由（1）及題設得t∈[-3，-2]
又g（t）的對稱軸t=1，故g（t）在[-3，-2]上是減函數
∴f_max（x）=g（-3）=12
f_min（x）=g（-2）=5
（3）即方程（log₃x）²-2log₃x-3+m=0的兩解為α，β
∴l(xiāng)og₃α+log₃β=2
∴l(xiāng)og₃α•β=2
∴α•β=9

點評：本題考查對數函數的運算法則、二次函數最值的求法、二次方程的韋達定理．