Question

正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，點P是對角線AC上一動點．

（1）如圖1，當點P在線段OA上運動時(不與點A、O重合) ，PE⊥PB交線段CD于點E，PF⊥CD于點E．

①判斷線段DF、EF的數量關系，并說明理由；

②寫出線段PC、PA、CE之間的一個等量關系，并證明你的結論；

（2）如圖2，當點P在線段OC上運動時(不與點O、C重合)，PE⊥PB交直線CD于點E，PF⊥CD于點E．判斷（1）中的結論①、②是否成立？若成立，說明理由；若不成立，寫出相應的結論并證明．

 

Answer 1

【答案】

（1）①DF=EF ②PC－PA=CE

（2）結論①成立, 結論②不成立，

【解析】

試題分析：（1）①DF=EF                                                     …1分

理由如下：連接PD，因為AB=AD,AP=AP,∠BAP=∠DAP=45°,

所以,

所以,

因為,所以在四邊形中,

因為，所以,

因為所以（等腰三角形底邊垂線即底邊平分線）.           …4分

②,同理,

所以,

因為所以                                       …7分

（2）結論①成立                                                           …8分

理由同（1）①即可；                                                       …9分

結論②不成立.                                                             …10分

相應的結論為PA－PC=CE                                             …11分

證明同（1）②.                                                          … 12分

考點：本小題主要考查平面圖形中的探究性問題，考查學生綜合運用平面幾何知識解決問題的能力.

點評：對于此類問題，要靈活運用平面幾何知識（平行、相似、全等等），要注意恰當轉化.