Question

已知函數(shù)，g（x）=-ax²+4x-m，a，m∈R．
（I）當a=1，x∈[0，3]時，求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若a＜2時關于x的方程f（x）=g（x）總有三個不同的根，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）當a=1時，f′（x）=x²-5x+6=（x-2）（x-3），x∈[0，2]，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增；x∈[2，3]，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減，由此能求出f（x）的最大值和最小值．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x），則，則h′（x）=ax²-（a+2）x+2=（ax-2）（x-1）f（x）=g（x）總有三個不同的根，即y=h（x）的圖象和x軸總有三個不同的交點，由此能求出m的取值范圍．
解答：解：（I）f′（x）=ax²-（3a+2）x+6=（ax-2）（x-3）a=1，
f′（x）=x²-5x+6=（x-2）（x-3），
x∈[0，2]和x∈[3，+∞]，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增；
x∈[2，3]，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減；
∴；f（x）_min為f（0）=0和的最小者，
∴f（x）_min=0．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）-g（x），
則
則h′（x）=ax²-（a+2）x+2=（ax-2）（x-1）f（x）=g（x）總有三個不同的根，
即y=h（x）的圖象和x軸總有三個不同的交點
①當a＜0時，，h（x）的極大值為，
h（x）的極小值為，
要使y=h（x）的圖象和x軸總有三個不同的交點，
需滿足在a＜0時恒成立，
即在a＜0時恒有解，
∴m≥-1，
又，，
∴m≤0．
∴-1≤m≤0．
②當a=0時，h（x）=-x²+2x+m，顯然不符合題意，舍去；
③當0＜a＜2時，h′（x）=ax²-（a+2）x+2=（ax-2）（x-1），
h（x）的極大值為，
h（x）的極小值為
即，
即，舍去．
綜上述，m∈[-1，0]．
點評：本題考查函數(shù)的最大值和最小值的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數(shù)性質(zhì)、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．