如圖，M、N、P分別是正方體的棱AB、BC、上的點．(1)若，求證：無論點P在上如何移動，總有BP⊥MN；(2)棱上是否存在這樣的點P，使得平面⊥平面？證明你的結論．

答案：略
解析：

如圖(1)，結AC、BD，則BD⊥AC，，∴，∴．又平面ABCD，∴無論點P在上如何移動，總有BP平面，故總有．(2)解法1：存在點P，且P為中點,使得平面平面．證明如下：，，∴平面．取中點E，連結PE，則，∴平面．PE平面APC，平面平面，∴平面平面．

解法2：假設存在點P，使平面平面，如圖(2)，過P作交于E，∴平面．平面，∴，從而平面ABCD．分別延長、CD交于點F，連結AF，則，∴平面，．設AB=b，PD=x，則，，．，在中，．在中，，

∴，∴，

，解得，或x=b(舍去)．∴存在點P，當P為中點時，平面平面．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網現(xiàn)有一塊棱長為a的正方體形的木料，如圖，M、N、P分別為AD、CD、BB1的中點．現(xiàn)要沿過M、N、P三點的平面將木料鋸開．
（1）求作鋸面與平面AA1C1C的交線GH，其中G、H分別在C1C、AA1上（寫出作圖過程即可，不必證明），并說明GH與平面ABCD的關系，然后給出證明．
（2）若Q為C1D1的中點．求點P到平面MNQ的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，M、N、P分別為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD上的點，且AM：MB=CN：NB=CP：PD．
求證：（1）AC∥平面MNP，BD∥平面MNP；
（2）平面MNP與平面ACD的交線∥AC．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年河北省唐山一中高二（上）期中數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，M、N、P分別為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD上的點，且AM：MB=CN：NB=CP：PD．
求證：（1）AC∥平面MNP，BD∥平面MNP；
（2）平面MNP與平面ACD的交線∥AC．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年河北省唐山一中高二（上）期中數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

如圖，M、N、P分別為空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD上的點，且AM：MB=CN：NB=CP：PD．
求證：（1）AC∥平面MNP，BD∥平面MNP；
（2）平面MNP與平面ACD的交線∥AC．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年江西省上饒市重點中學高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

現(xiàn)有一塊棱長為a的正方體形的木料，如圖，M、N、P分別為AD、CD、BB1的中點．現(xiàn)要沿過M、N、P三點的平面將木料鋸開．
（1）求作鋸面與平面AA1C1C的交線GH，其中G、H分別在C1C、AA1上（寫出作圖過程即可，不必證明），并說明GH與平面ABCD的關系，然后給出證明．
（2）若Q為C1D1的中點．求點P到平面MNQ的距離．

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