Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB與△PAD都是邊長為2的等邊三角形．
（Ⅰ）證明：PB⊥CD；
（Ⅱ）求點A到平面PCD的距離．

Answer 1

分析：（I）取BC的中點E，連接DE，則ABED為正方形，過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O，連接OA，OB，OD，OE，證明PB⊥OE，OE∥CD，即可證明PB⊥CD；
（II）取PD的中點F，連接OF，證明O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離，即可求得點A到平面PCD的距離．

解答：（I）證明：取BC的中點E，連接DE，則ABED為正方形，過P作PO⊥平面ABCD，垂足為O，連接OA，OB，OD，OE
由△PAB和△PAD都是等邊三角形知PA=PB=PD
∴OA=OB=OD，即O為正方形ABED對角線的交點
∴OE⊥BD，∴PB⊥OE
∵O是BD的中點，E是BC的中點，∴OE∥CD
∴PB⊥CD；
（II）取PD的中點F，連接OF，則OF∥PB
由（I）知PB⊥CD，∴OF⊥CD，
∵OD=

1

2

BD=

2

，OP=

PD2-OD2

=

2

∴△POD為等腰三角形，∴OF⊥PD
∵PD∩CD=D，∴OF⊥平面PCD
∵AE∥CD，CD?平面PCD，AE?平面PCD，∴AE∥平面PCD
∴O到平面PCD的距離OF就是A到平面PCD的距離
∵OF=

1

2

PB=1
∴點A到平面PCD的距離為1．

點評：本題考查線線垂直，考查點到面的距離的計算，考查學生轉(zhuǎn)化的能力，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．