Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓:,設是橢圓上的任一點，從原點向圓：作兩條切線，分別交橢圓于點，.

（1）若直線，互相垂直，求圓的方程；

（2）若直線，的斜率存在，并記為，，求證：；

（3）試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）；（3）定值為36．

【解析】

試題分析：（1）因為直線，互相垂直，且和圓相切，所以；再結合點在橢圓上，得到關于的方程組進行求解；（2）設出的直線方程，利用直線與圓相切，得到與的關系；再根據在橢圓上，得出關系，整理即可；（3）分別聯(lián)立兩直線與橢圓的方程，得出的關系，借助進行證明.

試題解析：（1）由圓的方程知，圓的半徑的半徑，

因為直線，互相垂直，且和圓相切，

所以，即，①

又點在橢圓上，所以，②

聯(lián)立①②，解得

所以所求圓的方程為．

（2）因為直線：，：，與圓相切，

所以,化簡得

同理，

所以是方程的兩個不相等的實數根，

因為點在橢圓C上，所以，即，

所以，即．

（3）是定值，定值為36，

理由如下：

法一：（i）當直線不落在坐標軸上時,設,

聯(lián)立解得

所以，同理，得，

由，

所以

（ii）當直線落在坐標軸上時,顯然有，

綜上：．

法二：（i）當直線不落在坐標軸上時,設,

因為，所以,即，

因為在橢圓C上，所以，

即，

所以，整理得，

所以，

所以．

（ii）當直線落在坐標軸上時,顯然有，

綜上：．

考點：1.直線與圓的位置關系；2.直線與橢圓的位置關系；3.定值問題．