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19.已知數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3+…+an=n-an.其中n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{(2-n)(an-1)}的前n項(xiàng)和.

分析 (1)由已知數(shù)列遞推式可得a1+a2+a3+…+an-1=(n-1)-an-1(n≥2),與原遞推式作差可得數(shù)列{an-1}是以a11=12為首項(xiàng),以12為公比的等比數(shù)列,由此求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)把數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式代入數(shù)列{(2-n)(an-1)},利用錯(cuò)位相減法求得其前n項(xiàng)和.

解答 解:(1)由a1+a2+a3+…+an=n-an,得
a1+a2+a3+…+an-1=(n-1)-an-1(n≥2),
兩式作差得:2an=an-1+1(n≥2),
an1=12an11(n≥2).
∵a1=1-a1,∴a1=12
∴數(shù)列{an-1}是以a11=12為首項(xiàng),以12為公比的等比數(shù)列,
an1=1212n1
an=112n;
(2)(2-n)(an-1)=n212n,
Sn=12+0122+1123++n212n
12Sn=122+0123++n112n+n212n+1,
兩式作差得:12Sn=12+122+123++12nn212n+1
12Sn=12+122112n1112n212n+1,
Sn=n2n

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式,考查了等比關(guān)系的確定,訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

9.已知函數(shù)f(x)=\sqrt{3}sinωxsin(ωx+\frac{π}{2})-{cos^2}ωx+\frac{1}{2}(ω>0)的周期為π.
(1)求ω.
(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向左平移\frac{π}{6}個(gè)單位后,再將得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)表達(dá)式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

10.以下4個(gè)命題:
①若實(shí)數(shù)a、b、c滿足b2=ac,則a、b、c成等比數(shù)列;
②定積分\int_1^2{({e^x}+\frac{1}{x})dx}的值為e2-e+ln2;
③兩直線(a+2)x+(1-a)y-1=0與(a-1)x+(2a+3)y+2=0相互垂直的充要條件是a=-1;
④點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC},則△ABP與△ABC的面積之比為\frac{1}{3}
其中正確命題的個(gè)數(shù)是(  )
A.1B.2C.3D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

7.設(shè)函數(shù)f(x)=log2(ax-bx),且f(1)=1,f(2)=log212;
(1)求a,b的值;   
(2)判斷函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性并證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.已知向量\overrightarrow{a}\overrightarrow的夾角為45°,且|\overrightarrow{a}|=4,(\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow)•(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow)=12.
(1)求|\overrightarrow|
(2)求\overrightarrow\overrightarrow{a}方向上的投影.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

4.已知復(fù)數(shù)\overline z是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù),\overline z=1+i,則\frac{2i}{z}=( �。�
A.-1-iB.-1+iC.1+iD.1-i

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

11.函數(shù)y=x2-4x+7,x∈[1,+∞)的值域是( �。�
A.{y|y∈R}B.{y|y≥3}C.{y|y≥7}D.{y|y>3}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

8.若函數(shù)f(x)=2x3-3ax2+a在R上存在三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( �。�
A.a>1B.a<-1C.a>1或a<-1D.a<0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

9.給出下列命題:
①函數(shù)y=sin(\frac{5π}{2}-2x)是偶函數(shù);
②將函數(shù)y=cos2x的圖象向左平移\frac{π}{3}單位,得到函數(shù)y=cos(2x+\frac{π}{3})的圖象;
③若函數(shù)y=cos(\frac{x}{3}+φ),(0<φ<π)的一條對稱軸方程為x=\frac{9π}{4},則函數(shù)y=sin(2x-φ),(0≤x<π)的單調(diào)遞減區(qū)間為[\frac{3π}{8}\frac{7π}{8}];
④已知a=sin(sin2015°),b=sin(cos2015°),則 a<b.
其中正確的命題的序號是:①④.

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同步練習(xí)冊答案
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