Question

在△ABC中，給出下列5個命題：
（1）若A＜B，則sinA＜sinB；        （2）sinA＜sinB若，則A＜B；
（3）若A＞B，則cot2A＞cot2B；      （4）若A＞B，則cos²A＜cos²B；
（5）若A＜B，則tan

A

2

＜tan

B

2

；
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：三角函數的求值

分析：利用正弦定理、三角函數加法定理、倍角公式等知識求解．

解答： 解：在△ABC中：
（1）∵

a

sinA

=

b

sinB

，
∴當A＜B時，根據三角形內，大角對大邊，得a＜b，
∴sinA＜sinB，故（1）正確；
（2）∵

a

sinA

=

b

sinB

，
當sinA＜sinB時，則a＜b，根據三角形內，大邊對大角，
∴A＜B，故（2）正確；
（3）cot2A-cot2B=

cos2A

sin2A

-

cos2B

sin2B

=

cos2Asin2B-cos2Bsin2A

sin2Asin2B

=

sin2(B-A)

sin2Asin2B

=

2sin(B-A)cos(B-A)

sin2Asin2B

，
∵A＞B，∴0＜A-B＜π，
∴sin（B-A）=-sin（A-B）＜0，
①當0＜A≤

π

2

，0＜B≤

π

2

時，0＜2A≤π，0＜2B≤π，0≤A-B≤

π

2

，
sin2A＞0，sin2B＞0，cos（B-A）＞0
∴cot2A-cot2B＜0，∴cot2A＜cot2B；
②當

π

2

＜A＜π，0＜B≤

π

2

時（A和B不可能同時在第二象限），π＜2A＜2π，0＜2B≤π，
∴sin2A＜0，sin2B＞0
當0≤A-B≤

π

2

時，cos（B-A）＞0，
∴cot2A-cot2B＞0，∴cot2A＞cot2B，
當

π

2

＜A-B≤π時，cos（B-A）＜0，
∴cot2A-cot2B＜0，∴cot2A＜cot2B，
則cot2A＞cot2B，故（3）錯誤；
（4）cos²A-cos²B=

1

2

（2cos²A-2cos²B）
=

1

2

[（2cos²A-1）-（2cos²B-1）]
=

1

2

（cos2A-cos2B）
=

1

2

×（-2）×sin（A+B）×sin（A-B）
=-sin（A+B）sin（A-B），
∵A＞B，∴0＜A-B＜π
∵0＜A+B＜π，∴sin（A+B）＞0，
∴cos²A-cos²B＜0，cos²A＜cos²B．故（4）正確；
（5）tan

A

2

-tan

B

2

=tan

A

2

+tan（-

B

2

）
=

sin A-B 2

cos A 2 cos(- B 2 )

，
∵0＜

B-A

2

＜

π

2

，A＜B
∴sin

A-B

2

＜0，
∵0＜

A

2

≤

π

2

，0＜

B

2

≤

π

2

，
∴tan

A

2

-tan

B

2

＜0，∴tan

A

2

＜tan

B

2

，故（5）正確．
故答案為：（1）（2）（4）（5）．

點評：本題考查命題真假的判斷，解題時要認真審題，注意正弦定理、三角函數加法定理、倍角公式等知識的合理運用．