Question

9．F是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的右焦點，A，B是橢圓C上的兩個動點，且線段AB的中點M在直線x=-1上．
（Ⅰ）若A點坐標為（-$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），求點M的坐標；
（Ⅱ）求F到直線AB的距離d的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意設(shè)出B的坐標，把B的坐標代入橢圓方程求得其縱坐標，再由中點坐標公式求得M的坐標；
（Ⅱ）當AB垂直x軸時，直接求得d=2；當AB與x軸不垂直時，設(shè)AB的方程y=kx+m，代入橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0及AB中點橫坐標為-1得到k與m的關(guān)系，再由點到直線的距離公式得到d關(guān)于k的函數(shù)式，利用換元法求得d的范圍，則答案可求．

解答 解：（Ⅰ）∵A（-$\frac{4}{3}$，$\frac{1}{3}$），且線段AB的中點M在直線x=-1上，
∴設(shè)$B（-\frac{2}{3}，{y}_{B}）$，代入橢圓方程得，$\frac{（-\frac{2}{3}）^{2}}{2}+{{y}_{B}}^{2}=1$，
解得${y}_{B}=±\frac{\sqrt{7}}{3}$，
由中點坐標公式可得M（-1，$\frac{1+\sqrt{7}}{6}$）或（-1，$\frac{1-\sqrt{7}}{6}$）．
故點M的坐標為（-1，$\frac{1+\sqrt{7}}{6}$）或（-1，$\frac{1-\sqrt{7}}{6}$）；
（Ⅱ）當AB⊥x軸時，d=2；
當AB與x軸不垂直時，設(shè)AB的方程y=kx+m，代入橢圓方程，整理：
（2k²+1）x²+4kmx+2m²-1=0．
由△＞0得：2k²+1＞m²，①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{2{k}^{2}+1}=-2$，得：2k²+1=2km，
得$m=k+\frac{1}{2k}$，代入①得：$2{k}^{2}+1＞（k+\frac{1}{2k}）^{2}$，得：${k}^{2}＞\frac{1}{2}$．
點F（1，0）到直線AB的距離d=$\frac{|k+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{{|2k+\frac{1}{2k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$=$\frac{{|2+\frac{1}{{2{k^2}}}|}}{{\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}}}$，
令$t=\sqrt{\frac{1}{k^2}+1}$，則$t∈（1，\sqrt{3}）$，
于是d=$\frac{1}{2}（t+\frac{3}{t}）$在$t∈（1，\sqrt{3}）$單調(diào)遞減，
故d$∈（\sqrt{3}，2）$．
綜上所述，F(xiàn)到直線AB的距離d的取值范圍是$（\sqrt{3}，2]$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應用，訓練了利用換元法求函數(shù)的值域，是中檔題．