Question

已知直線y=kx+1和雙曲線3x²-y²=1相交于兩點A，B．
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)k，使得以AB為直徑的圓恰好過原點？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）聯(lián)立直線y=kx+1與雙曲線3x²-y²=1可得（3-k²）x²-2kx-2=0，由△＞0，且3-k²≠0，解得即為k的范圍；
（2）假設(shè)存在，則設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），依題意，x₁x₂+y₁y₂=0，利用韋達定理可得x₁+x₂=

-2k

k2-3

，x₁x₂=

2

k2-3

，從而可求得

2

k2-3

+1=0，繼而可解得k的值．檢驗成立．

解答： 解：（1）由

y=kx+1 3x2-y2=1

，得（3-k²）x²-2kx-2=0，
由△＞0，且3-k²≠0，
得-

6

＜k＜

6

，且k≠±

3

；
（2）假設(shè)存在實數(shù)k，使得以AB為直徑的圓恰好過原點．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
因為以AB為直徑的圓過原點，所以O(shè)A⊥OB，
所以x₁x₂+y₁y₂=0，又x₁+x₂=

-2k

k2-3

，x₁x₂=

2

k2-3

，
∴y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
∴k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1+x₁x₂=0，
即

2k2

k2-3

+

-2k2

k2-3

+1+

2

k2-3

=0，
∴

2

k2-3

+1=0，解得k=±1．
經(jīng)檢驗，k=±1滿足題目條件，
則存在實數(shù)k，使得以AB為直徑的圓恰好過原點．

點評：本題考查雙曲線的標準方程和性質(zhì)，著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，突出考查韋達定理的應用，考查轉(zhuǎn)化思想與綜合運算能力，屬于中檔題．