Question

7．解答題
$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{∫}_{0}^{x}In（1+{t}^{2}）dt}{{x}^{2}sinx}$．

Answer 1

分析 利用等價無窮小將sinx～x，洛必達法則將原式轉化為$\underset{lim}{x→0}$$\frac{ln（1+{x}^{2}）}{3{x}^{2}}$，再次利用等價無窮小ln（1+x）～x，即可將原式化簡為$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{x}^{2}}{3{x}^{2}}$，解得結果．

解答 解：根據(jù)等價無窮小公式可知：
$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{∫}_{0}^{x}In（1+{t}^{2}）dt}{{x}^{2}sinx}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{∫}_{0}^{x}ln（1+{t}^{2}）dt}{{x}^{3}}$，
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{ln（1+{x}^{2}）}{3{x}^{2}}$，
=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{x}^{2}}{3{x}^{2}}$，
=$\frac{1}{3}$．
∴$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{∫}_{0}^{x}In（1+{t}^{2}）dt}{{x}^{2}sinx}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查求函數(shù)的極限，考查利用等價無窮小及洛必達法則求得極限，考查計算能力，屬于中檔題．