Question

已知函數(shù)f(x)= -ax(a∈R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(2)若a=1，函數(shù)在區(qū)間（0，+）上為增函數(shù)，求整數(shù)m的最大值.

 

Answer 1

(1) 當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在為減函數(shù)，在為增函數(shù)；(2) 的最大值為1．

【解析】

試題分析：(1)討論函數(shù)的單調(diào)性首先注意明確函數(shù)的定義域，由于該函數(shù)是超越函數(shù)與一次函數(shù)的和構(gòu)成的，所以考慮用導(dǎo)數(shù)，先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)得，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知要確定導(dǎo)數(shù)的正負(fù)須按和分類討論,確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2) 函數(shù)在區(qū)間（0，+）上為增函數(shù)在恒成立，分離參數(shù)m，從而將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，構(gòu)造新函數(shù)，再用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的最小值即可；注意所求的m為整數(shù)這一特性．

試題解析：(1)定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720472523275527/SYS201411172047371238986362_DA/SYS201411172047371238986362_DA.013.png">，，

當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)； 2分

當(dāng)時(shí)，由得，且當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，

所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù)． 6分

(2)當(dāng)時(shí)，，

若在區(qū)間上為增函數(shù)，

則在恒成立，

即在恒成立 8分

令，；

，；令，

可知，，

又當(dāng)時(shí)，

所以函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，即，

且； 9分

由上可知當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即，

所以，，有最小值， 10分

把代入上式可得，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720472523275527/SYS201411172047371238986362_DA/SYS201411172047371238986362_DA.034.png">，所以，

又恒成立，所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720472523275527/SYS201411172047371238986362_DA/SYS201411172047371238986362_DA.046.png">為整數(shù)，

所以，所以整數(shù)的最大值為1． 12分

考點(diǎn)：１．利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間；２．利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求最值；３．不等式的恒成立．