已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2
+2bx+c在R上可導(dǎo).
(1)若f(x)在區(qū)間[-1,2]上為減函數(shù),且b=3a,求a的取值范圍;
(2)若f(x)的極大值點(diǎn)在(0,1)內(nèi),極小值點(diǎn)在(1,2)內(nèi),求
b-2
a-1
的取值范圍.
分析:(1)由f(x)在區(qū)間[-1,2]上為減函數(shù),可轉(zhuǎn)化成f'(x)≤0對(duì)x∈[-1,2]恒成立,借助二次函數(shù)的知識(shí)建立不等關(guān)系,可求出a的取值范圍.
(2)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)有極大值,在(1,2)內(nèi)有極小值,轉(zhuǎn)化為f′(x)的圖象在區(qū)間(0,1)和(1,2)上與x軸各有一個(gè)交點(diǎn),根據(jù)二次函數(shù)根的分布可建立關(guān)于a,b的三個(gè)不等關(guān)系,利用線性規(guī)劃即可求
b-2
a-1
的取值范圍.
解答:(1)∵當(dāng)a≠0時(shí),f′(x)=x2+ax+2b=x2+ax+6a,又f(x)在[-1,2]上為減函數(shù),
∴f′(x)≤0對(duì)x∈[-1,2]恒成立,…(2分)
即x2+ax+6a≤0對(duì)x∈[-1,2]恒成立,
∴f′(-1)≤0且f′(2)≤0,…(4分)
1-a+6a≤0
4+2a+6a≤0
a≤-
1
5
a≤-
1
2
⇒a≤-
1
2
.…(6分)
(2)∵f(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2+2bx+c,
∴f′(x)=x2+ax+2b,…(8分)
由題意得
f′(0)=2b>0
f′(1)=1+a+2b<0
f′(2)=4+2a+2b>0
畫出可行域:
于是
b-2
a-1
即為點(diǎn)P(1,2)與可行域內(nèi)(不包含邊界)任意一點(diǎn)的連線的斜率.
∴kPC
b-2
a-1
<kPA,即
1
4
b-2
a-1
<1.…(13分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù),單調(diào)性,極值,不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
|x|
,g(x)=1+
x+|x|
2
,若f(x)>g(x),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是( �。�
A、(-∞,-1)∪(0,1)
B、(-∞,-1)∪(0,
-1+
5
2
)
C、(-1,0)∪(
-1+
5
2
,+∞)
D、(-1,0)∪(0,
-1+
5
2
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1,x∈Q
0,x∉Q
,則f[f(π)]=( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1-x
ax
+lnx(a>0)

(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)在[
1
2
,2
]上的最大值和最小值;
(3)當(dāng)a=1時(shí),求證對(duì)任意大于1的正整數(shù)n,lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+
+
1
n
恒成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=1+cos2x-2sin2(x-
π
6
),其中x∈R,則下列結(jié)論中正確的是( �。�

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=1+logax(a>0,a≠1),滿足f(9)=3,則f-1(log92)的值是( �。�

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