Question

已知f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程及對(duì)稱中心；
（3）當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由條件利用正弦函數(shù)的最小正周期、單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間．
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性求得函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸方程及對(duì)稱中心．
（3）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（1）f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

的最小正周期為

2π

2

=π，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得kπ+

π

6

≤x≤kπ++

2π

3

，k∈z，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z．
（2）令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，求得x=

kπ

2

+

π

6

，故函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

6

，k∈z．
令2x+

π

6

=kπ，k∈z，求得x=

kπ

2

-

π

12

，故函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為（

kπ

2

-

π

12

，0）．
（3）當(dāng)x∈（0，

π

2

）時(shí)，2x+

π

6

∈（

π

6

，

7π

6

）時(shí)，故當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時(shí)，函數(shù)取得最大值為1+

3

2

=

5

2

，當(dāng)2x+

π

6

=

7π

6

時(shí)，函數(shù)取得最小值為-

1

2

+

3

2

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的最小正周期、單調(diào)性、以及圖象的對(duì)稱性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．