Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=3•(

3

2

)n-1（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n=

an+1

n

（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

1

bn

}的前n項和T_n；
（Ⅲ）求{b_n}的最小值．

Answer 1

分析：（I）先求出首項，然后根據(jù)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1求出通項，利用分段函數(shù)表示出來即可；
（II）先求出數(shù)列{

1

bn

}的通項公式，然后利用錯位相消法求出前n項和即可；
（III）先計算b_n+1-b_n的通項公式，然后討論n得到b_n+1與b_n的大小關系，從而得到數(shù)列的單調(diào)性，即可求出數(shù)列的最小值．

解答：解：（Ⅰ）n=1，時，a₁=S₁=3．…（1分）
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=3×(

3

2

)n-1-3×(

3

2

)n-2=(

3

2

)n-1．
∴an=

3              n=1 ( 3 2 )n-1    n≥2

…（4分）
（Ⅱ） b_n=

1

n

(

3

2

)n，∴

1

bn

=n(

2

3

)n．…（6分）
Tn=1•(

2

3

) +2•(

2

3

)2+…+n(

2

3

)n．

2

3

Tn=1•(

2

3

)  2+2•(

2

3

)3+…+n(

2

3

)n+1．
兩式相減，得

1

3

Tn=(

2

3

) +(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-n(

2

3

)n+1=2-2(

2

3

)n-n(

2

3

)n+1．
∴Tn=6-2(n+3)(

2

3

)n．…（8分）
（Ⅲ）由（2）知 b_n=

1

n

(

3

2

)n．
∴b_n+1-b_n=(

3

2

)n

n-2

2n(n+1)

．…（10分）
所以當n≤2時有：b_n+1-b_n≤0，即b₁＞b₂=b₃；
當n＞2時有：b_n+1-b_n＞0，即b₃＜b₄＜b₅＜…；
{b_n}的最小值為b2=b3=

9

8

．…（13分）

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推關系，以及錯位相消法求和和利用數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．