已知函數(shù)y=f(x)的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線,當(dāng)n≤y≤n+1?(n=0,1,2,…)時(shí),該圖象是斜率為bn的線段(其中正常數(shù)b≠1),設(shè)數(shù)列|xn|由f(xn)=n(n=1,2,…)定義.
(1)求x1、x2和xn的表達(dá)式;
(2)求f(x)的表達(dá)式,并寫出其定義域;
(3)證明:y=f(x)的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn).
分析:(1)依題意f(0)=0,又由f(x1)=1,進(jìn)而利用斜率公式得x1=1,再由當(dāng)n≤y≤n+1?(n=0,1,2,…)時(shí),該圖象是斜率為bn的線段(其中正常數(shù)b≠1),可得xn的遞推關(guān)系,再利用累加法求得xn的表達(dá)式.
(2)先求出f(x)的表達(dá)式,再根據(jù)b的取值情況分別求得f(x)的定義域.
(3)法1:分情況用數(shù)學(xué)歸納法證明.
     法2:分情況利用當(dāng)xn<x≤xn+1時(shí)有f(x)-f(xn)=bn(x-x0)>x-xn(n≥1),從而f(x)-x>f(xn)-xn.進(jìn)而得解.
解答:解:(1)依題意f(0)=0,又由f(x1)=1,當(dāng)0≤y≤1時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b0=1的線段,故由
f(x1)-f(0)
x1-0
=1

得x1=1.
又由f(x2)=2,當(dāng)1≤y≤2時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b的線段,故由
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=b
,即x2-x1=
1
b
x2=1+
1
b

記x0=0.由函數(shù)y=f(x)圖象中第n段線段的斜率為bn-1,故得
f(xn)-f(xn-1)
xn-xn-1
=bn-1

又f(xn)=n,f(xn-1)=n-1;
所以xn-xn-1=(
1
b
)n-1,n=1,2

由此知數(shù)列{xn-xn-1}為等比數(shù)列,其首項(xiàng)為1,公比為
1
b

因b≠1,得xn=
n
k=1
(xk-xk-1)

=1+
1
b
++
1
bn-1
=
b-(
1
b
)
n-1
b-1

xn=
b-(
1
b
)
n-1
b-1

(2)當(dāng)0≤y≤1,從Ⅰ可知y=x,當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x.
當(dāng)n≤y≤n+1時(shí),即當(dāng)xn≤x≤xn+1時(shí),由Ⅰ可知f(x)=n+bn(x-xn)?(xn≤x≤xn+1,n=1,2,3).
為求函數(shù)f(x)的定義域,須對xn=
b-(
1
b
)
n-1
b-1
?(n=1,2,3,)
進(jìn)行討論.
當(dāng)b>1時(shí),
lim
n→∞
xn=
lim
n→∞
b-(
1
b
)
n-1
b-1
=
b
b-1
;
當(dāng)0<b<1時(shí),n→∞,xn也趨向于無窮大.
綜上,當(dāng)b>1時(shí),y=f(x)的定義域?yàn)?span id="o46yymg" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[0,
b
b-1
);
當(dāng)0<b<1時(shí),y=f(x)的定義域?yàn)閇0,+∞).
(3)證法一:首先證明當(dāng)b>1,1<x<
b
b-1
時(shí),恒有f(x)>x成立.
用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(ⅰ)由(2)知當(dāng)n=1時(shí),在(1,x2]上,y=f(x)=1+b(x-1),
所以f(x)-x=(x-1)(b-1)>0成立
(ⅱ)假設(shè)n=k時(shí)在(xk,xk+1]上恒有f(x)>x成立.
可得f(xk+1)=k+1>xk+1
在(xk+1,xk+2]上,f(x)=k+1+bk+1(x-xk+1).
所以f(x)-x=k+1+bk+1(x-xk+1)-x=(bk+1-1)(x-xk+1)+(k+1-xk+1)>0也成立.
由(。┡c(ⅱ)知,對所有自然數(shù)n在(xn,xn+1]上都有f(x)>x成立.
1<x<
b
b-1
時(shí),恒有f(x)>x.
其次,當(dāng)b<1,仿上述證明,可知當(dāng)x>1時(shí),恒有f(x)<x成立.
故函數(shù)y=f(x)的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn).
證法二:首先證明當(dāng)b>1,1<x<
b
b-1
時(shí),恒有f(x)>x成立.
對任意的x∈(1,
b
b-1
)
,存在xn,使xn<x≤xn+1
此時(shí)有f(x)-f(xn)=bn(x-x0)>x-xn(n≥1),
所以f(x)-x>f(xn)-xn
f(xn)=n>1+
1
b
++
1
bn-1
=xn

所以f(xn)-xn>0,
所以f(x)-x>f(xn)-xn>0,
即有f(x)>x成立.
其次,當(dāng)b<1,仿上述證明,可知當(dāng)x>1時(shí),恒有f(x)<x成立.
故函數(shù)f(x)的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn).
本小題主要考查函數(shù)的基本概念、等比數(shù)列、數(shù)列極限的基礎(chǔ)知識,考查歸納、推理和綜合的能力.
點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)與數(shù)列以及極限的綜合知識,考查知識的歸納、推理和綜合運(yùn)用的能力,能力層次要求高,要理解掌握本題的思想方法.
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