解答:解:(1)依題意f(0)=0,又由f(x
1)=1,當(dāng)0≤y≤1時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b
0=1的線段,故由
=1得x
1=1.
又由f(x
2)=2,當(dāng)1≤y≤2時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b的線段,故由
=b,即
x2-x1=得
x2=1+.
記x
0=0.由函數(shù)y=f(x)圖象中第n段線段的斜率為b
n-1,故得
=bn-1.
又f(x
n)=n,f(x
n-1)=n-1;
所以
xn-xn-1=()n-1,n=1,2.
由此知數(shù)列{x
n-x
n-1}為等比數(shù)列,其首項(xiàng)為1,公比為
.
因b≠1,得
xn=n |
|
k=1 |
(xk-xk-1)=
1+++=,
即
xn=.
(2)當(dāng)0≤y≤1,從Ⅰ可知y=x,當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x.
當(dāng)n≤y≤n+1時(shí),即當(dāng)x
n≤x≤x
n+1時(shí),由Ⅰ可知f(x)=n+b
n(x-x
n)?(x
n≤x≤x
n+1,n=1,2,3).
為求函數(shù)f(x)的定義域,須對
xn=?(n=1,2,3,)進(jìn)行討論.
當(dāng)b>1時(shí),
xn==;
當(dāng)0<b<1時(shí),n→∞,x
n也趨向于無窮大.
綜上,當(dāng)b>1時(shí),y=f(x)的定義域?yàn)?span id="o46yymg" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[0,
);
當(dāng)0<b<1時(shí),y=f(x)的定義域?yàn)閇0,+∞).
(3)證法一:首先證明當(dāng)b>1,
1<x<時(shí),恒有f(x)>x成立.
用數(shù)學(xué)歸納法證明:
(ⅰ)由(2)知當(dāng)n=1時(shí),在(1,x
2]上,y=f(x)=1+b(x-1),
所以f(x)-x=(x-1)(b-1)>0成立
(ⅱ)假設(shè)n=k時(shí)在(x
k,x
k+1]上恒有f(x)>x成立.
可得f(x
k+1)=k+1>x
k+1,
在(x
k+1,x
k+2]上,f(x)=k+1+b
k+1(x-x
k+1).
所以f(x)-x=k+1+b
k+1(x-x
k+1)-x=(b
k+1-1)(x-x
k+1)+(k+1-x
k+1)>0也成立.
由(。┡c(ⅱ)知,對所有自然數(shù)n在(x
n,x
n+1]上都有f(x)>x成立.
即
1<x<時(shí),恒有f(x)>x.
其次,當(dāng)b<1,仿上述證明,可知當(dāng)x>1時(shí),恒有f(x)<x成立.
故函數(shù)y=f(x)的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn).
證法二:首先證明當(dāng)b>1,
1<x<時(shí),恒有f(x)>x成立.
對任意的
x∈(1,),存在x
n,使x
n<x≤x
n+1,
此時(shí)有f(x)-f(x
n)=b
n(x-x
0)>x-x
n(n≥1),
所以f(x)-x>f(x
n)-x
n.
又
f(xn)=n>1+++=xn,
所以f(x
n)-x
n>0,
所以f(x)-x>f(x
n)-x
n>0,
即有f(x)>x成立.
其次,當(dāng)b<1,仿上述證明,可知當(dāng)x>1時(shí),恒有f(x)<x成立.
故函數(shù)f(x)的圖象與y=x的圖象沒有橫坐標(biāo)大于1的交點(diǎn).
本小題主要考查函數(shù)的基本概念、等比數(shù)列、數(shù)列極限的基礎(chǔ)知識,考查歸納、推理和綜合的能力.