Question

（2012•海淀區(qū)一模）對(duì)于集合M，定義函數(shù)f_M（x）=

-1，x∈M 1，x∉M

，對(duì)于兩個(gè)集合M，N，定義集合M△N={x|f_M（x）•f_N（x）=-1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．
（Ⅰ）寫(xiě)出f_A（1）和f_B（1）的值，并用列舉法寫(xiě)出集合A△B；
（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的個(gè)數(shù)．
（ⅰ）求證：當(dāng)Card（X△A）+Card（X△B）取得最小值時(shí)，2∈X；
（ⅱ）求Card（X△A）+Card（X△B）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用新定義寫(xiě)出f_A（1）和f_B（1）的值，并用列舉法寫(xiě)出集合A△B；
（Ⅱ）設(shè)Card（X△A）+Card（X△B）取得最小值時(shí)，X=W，（ⅰ）利用反證法證明2∈X成立；
（ⅱ）同（�。┛傻茫�4∈X且8∈X．通過(guò)a∈X且a∉A∪B，以及a∈A∪B且a∉A∩B，Card（X△A）+Card（X△B）取到最小值4．

解答：（Ⅰ）解：f_A（1）=1，f_B（1）=-1，
對(duì)于兩個(gè)集合M，N，定義集合M△N={x|f_M（x）•f_N（x）=-1}．
A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．
∴A△B={1，6，10，16}．…（3分）
（Ⅱ）設(shè)當(dāng)Card（X△A）+Card（X△B）取到最小值時(shí)，X=W．
（�。┳C明：假設(shè)2∉W，令Y=W∪{2}．
那么 Card（Y△A）+Card（Y△B）
=Card（W△A）-1+Card（W△B）-1
＜Card（W△A）+Card（W△B）．這與題設(shè)矛盾．
所以 2∈X，即當(dāng)Card（X△A）+Card（X△B）取得最小值時(shí)，2∈X．…（7分）
（ⅱ）同（ⅰ）可得：4∈X且8∈X．
若存在a∈X且a∉A∪B，則令Z=C_U{a}．
那么Card（Z△A）+Card（Z△B）
=Card（X△A）-1+Card（X△B）-1
＜Card（X△A）+Card（X△B）．
所以 集合W中的元素只能來(lái)自A∪B．
若a∈A∪B且a∉A∩B，同上分析可知：集合X中是否包含元素a，Card（X△A）+Card（X△B）的值不變．
綜上可知，當(dāng)W為集合{1，6，10，16}的子集與集合{2，4，8}的并集時(shí)，Card（X△A）+Card（X△B）取到最小值4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查定義域的應(yīng)用，集合的基本運(yùn)算，考查邏輯推理能力，分類討論思想的應(yīng)用．