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9.已知F、A分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點和右頂點,過F作x軸的垂線在第一象限與雙曲線交于點P,AP的延長線與雙曲線在第一象限的漸近線交于點Q,若AP=(2-\sqrt{2}}AQ,則雙曲線的離心率為(  )
A.2B.3C.22D.5

分析 設(shè)出F,A的坐標(biāo),令x=c代入雙曲線的方程,可得P的坐標(biāo),求得AP的方程,聯(lián)立漸近線方程可得Q的坐標(biāo),結(jié)合AP=(2-2AQ,可得c-a=(2-2)(ac+aab+c-a),進(jìn)而化簡得到雙曲線的離心率.

解答 解:F,A分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點和右頂點,
可設(shè)F點坐標(biāo)為(c,0),A(a,0),
過F作x軸的垂線,在第一象限與雙曲線交于點P,
令x=c,代入雙曲線的方程可得y=±bc2a212a,
則P點坐標(biāo)為(c,2a),
則AP所在直線方程為:y=2aca(x-a),即y=c+aa(x-a),
聯(lián)立雙曲線x2a2-y2b2=1的漸近線方程y=ax得:
Q點的橫坐標(biāo)為ac+aab+c
AP=(2-2AQ,
∴c-a=(2-2)(ac+aab+c-a)=(2-2abab+c
∴b2-b(c-a)=(2-2)ab,
∴a+b-c=(2-2)a,
∴b=(1-2)a+c,
∴b2=(3-22)a2+c2+(2-22)ac=c2-a2
∴(4-22)a2+(2-22)ac=0,
∴(4-22)a+(2-22)c=0,
∴(4-22)a=(22-2)c,
∴e=ca=422222=2,
故選:A.

點評 本題考查的知識點是雙曲線的簡單性質(zhì),離心率的求法,注意運用向量的共線的坐標(biāo)表示,考查運算能力,難度中檔.

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